2023-2024学年人教A版必修第二册 6-3-1 平面向量基本定理 学案.docx

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1、6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1 平面向量基本定理新课程标准解读核心素养理解平面向量基本定理及其意义直观想象、数学运算-知识梳理读教材口基础落实高效学习此情境导入。共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来.那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？问题如图所示，已知4c,d,e,/的始点相同，你能分别将c,d,e,/写成向量m8的线性运算吗？阻新知初探,知识点平面向量基本定理1 .平面向量基本定理如果0,62是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量M有且只有一对实数为,42,使。=九名十.2 .基底若约

2、，也不共线，我们把e,该叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.提醒（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一个基底.同一非零向量在不同基底下的分解是不同的；（2）基底给定时，分解形式唯一力，加是被,efe2唯一确定的数值.自做一做1 .下列说法中错误的是（）A.一个平面内只有一对不共线的向量可构成表示该平面内所有向量的基底B.一个平面内有无数多对不共线的向量可构成表示该平面内所有向量的基底C.零向量不可以作为基底中的向量D.一对不共线的单位向量可以作为基底解析：A平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内，任意一对不共线的向量都可构成表示该平面内所有向量的一个基底，故A错，B

3、、D对.零向量与任一向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故C对.2 .（多选）设。是平行四边形ABC。的两条对角线AcBD的交点,其中可表示这个平行四边形所在平面内所有向量的一个基底的是（）A.ADfABB.DAfBCC.C4,DCD.0DfOB解析：AC平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底.如图，对于A,而与万不共线，可作为基底；对于B,a与近为共线向量，不可作为基底；对于C,石?与反不共线，可作为基底；对于D,前与而是共线向量，不可作为基底.AB3 .如图所示，向量65可用向量e,62表示为.解析：由图可知，OB=3e2,0C=4e,OA=4e-3e2.答案:4e+3e2技法归纳

4、活学活用题型突破析典例题型一平面向量基本定理的理解【例1】设6,62是不共线的两个向量,给出下列四组向量:与约十02；e-2e2与该一2白；约一2仍与4022白；与6102.其中能作为平面内所有向量的一个基底的是（填序号）.Q1解析设e1+e2=&i(4R),则I无解，,e+e2与e不共线，即e,e1+e2Il=0,能作为一个基底.设约一2e2=2(022e)(R),则约一2e2=2Ze+我2,1=7k无解，e-2c2与2e不共线，即ejl-2e2,。22eJ能作为一个基2=k,底.2幻=T(4。22e。,，幻一2/与4劭-20共线，即e1一2。2,4。22eJ不1Ti,1=n,无解，的+该与

5、e-。2不共线，即ei+C2,6162能作为一个基底.答案通性通法对基底的理解(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基底，反之，则可作基底；(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.设向量与6是平面内两个不共线的向量，若XIa+yIb=X2。+”方，则Xl=X2且)，1=y2口跟踪训练已知0,。2不共线，a=ei+2e2,b=2e+e2要使,W能作为平面内的一个基底，则实数的取值范围为.解析：若,b能作为平面内的一个基底，则与b不共线，则akb(R),Va=e+2e2,b=2e+e2l.;W4.实数2的取值范围为

6、(一8,4)U(4,+8).答案：(-8,4)U(4,+8)题型二用基底表示向量【例2】如图，已知在梯形ABCD中，AB/CD,AB=2CD,E,尸分别是。C,AB的中点，设而=a,AB=b,试用,W为基底表示反，EF.B解因为QCAB,AB=2DCfE,产分别是。C,AB的中点，所以反=方=T近=，.EF=ED-DA+AF=-DC-AD-AB=-b-a-b=-b-a.222224通性通法用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示；二是通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.Z跟踪训练如

7、图，在正方形ABCz）中，设方=,AD=b,而=c,则以0,W为基底时，而可表示为，以仿，c）为基底时，近可表示为.解析：以,M为基底时，AC=AB+AD=a+bi以,c为基底时，将瓦5平移，使8与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得配=2+c.答案：a-b2+c题型三平面向量基本定理的应用j【例3】如图，在中，点”是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP：PM与5尸：/W的值.解设丽7=约，丽=02,则祠=彳？+前=-3e20,BN=BC+CN=2e+e2.VA,P,M和B,P,N分别共线，存在实数九使得Q=i而?=一曲1一3&2,丽=廊=2e+晔.故丽

8、=丽+丽=而一Q=(2+2z)e(3+/)e2.(aV而瓦(=玩+N=2g+3e2,由平面向量基本定理，得I+?=2,解得-I3=3,=-.5.9.AP=AM1前二|前，3：.AP：PM=4,BP：PN=-.2圆I中题探究(变设问)在本例条件下，若后i=,CN=bf试用”，表示福.解：由本例知竺=三，则而=2何，CP=CN+ITp=CN-ItB=b+-(CF-CW)=bPN2555-=.通性通法若题中有多组三点共线，可从三点共线出发，列出关于系数的方程组，通过解方程组求解.口跟踪训练如图所示,在正方形ABCD中,E为OC的中点,若荏=AB+近,则+=.解析：由题意，得荏=：(4+而).又而=5

9、?=万一四，所以荏=T(一荏+2前)=一微而+前.又荏=2荏+前，所以2+=-3+1=*答案一随堂检测.l.fiC,AB=cfAC=b,点。满足前=2尻，若将仿，c作为一个基底，则而=()A.+-cB.-c-b3333C.-h-CD.+-c3333解析：AVFD=2DC,：.ADAB=2(AC-AD),：.ADc=2(AD),：.AD=*+b,故选A.2.如图，用向量e”62表示向量ab=(A.-2e-42B.-4c-2。2C.2-3eD.-ez+3e解析：C如图所示，0b=互X=石J一方=&-3e.故选C.3.已知非零向量万5,砺不共线,且2=成+）而，若以=2而（R）,则X,），满足的关系式是（）A.x+y2=0B.2ry-1=0CI+2y2=0D.2v+y-2=0解析A由刀=人而，得面一加=/1（而一65）,即9=（l+l）画一而互又2而=XR+）-三,所以；:；：2人消去2得x+）=2.4.设）,E分别是AABC的边A8,BC上的点，AO=女8,BE=WBC,若屁=九而+22近（,22为实数），则九+/（2=.解析：如图，DE=DB+BE=-AB-BC=-AB+-CACAB）=-AB+-AC,又二而232363与4C不共线，九=一：,2z=,4+22=；+=：.O563/