2023-2024学年人教A版必修第二册 6-2-4 第一课时 向量数量积的概念、运算及投影向量 学案.docx

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1、6.2.4向量的数量积新课程标准解读核心素养1 .通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，数学抽象会计算平面向量的数量积2 .通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义数学运算3 .会用数量积判断两个平面向量的垂直关系逻辑推理第一课时向量数量积的概念、运算及投影向量知识梳理读教材:基础落实高效学习蛇情境导入.我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功.如图所示，如果作用在小车上的力尸的大小为I尸IN,小车在水平面上位移S的大小为ISlm,力的方向与小车位移的方向所成夹角为仇那么这个力所做的功为W=FISICOSa问题（1）显然，功W与力

2、向量产及位移向量S有关，这三者之间有什么关系？（2）给定任意两个向量。，力，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由./新知初探,知识点一向量的夹角1.夹角：已知两个非零向量a,力（如图），0是平面上的任意一点，作万5=,OB=b,则NAoB=9叫做向量。与b的夹角,夹角。的取值范围是OWJW兀.当J=O时，”与bI可向；当=11时，。与b反向.2.垂直：如果G与力的夹角是，则称。与b垂直，记作a1.b提醒(1)两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角：(2)两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角的范围是(),11,而两直线夹角的范围为，外.知识点二

3、两个向量的数量积1.定义：已知两个非零向量。与人它们的夹角为仇我们把数量IalMICoSe叫做向量。与方的数量积(或内积)，记作ab,即ab=I。IMlCoSo.规定：零向量与任一向量的数量积为0.提醒(D数量积运算中间是“”，不能写成“X”，也不能省略不写；(2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为().2J性质：设,力是非零向量，它们的夹角是仇e是与方方向相同的单位向量，则：(1) ae=ea=IaIcos(2) abab=0；(3)当g8时，ab=1aaib11(ly特别地，a2=a.a=IaI2或IaI=孤&；I-Ia/b,与b反向.(4) abIaII。I；知识点

4、三投影向量1 .如图，设,b是两个非零向量，AB=a,CD=b,我们考虑如下的变换：过近的起点A和终点8,分别作而所在直线的垂线，垂足分别为4,Bt,得到不瓦，我们称上述变换为向量a向向量b投影，石瓦叫做向量。在向量b上的投影向量.Ibi一CABD2 .如图，在平面内任取一点0,作丽=,前二A过点”作宜线ON的垂线，垂足为M1,则西就是向量。在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为仇则西与e,a,。之间的关系为西=IaIcose.提醒（1）向量Q在向量8上的投影向量是与向量b平行的向量：（2）如果向量。与向量力平行，向量。在向量b上的投影向量等于。或一。，当。与力垂直

5、时，。在台上的投影向量为0.自做一做1.已知向量。，力满足IaI=2,Ib=1,b=,则向量,的夹角为（）A.-B.-43CrDY44解析：C设向量,的夹角为伍则e0,11,因为IGl=2,II=1,=2,所以c。Se=MU=W=f，所以向量。，力的夹角J=EIabI21242 .已知Ial=6,e为单位向量，当向量,e的夹角等于45。时，向量在向量e上的投影向量是.解析：因为向量,e的夹角等于45,所以向量。在向量e上的投影向量是IaIcos45oe=32e.答案：32e3 .如图所示，在RSABC中，A=90o,AB=1.则而而=.解析：ABBC=ABBCcos（180。-B）=ABBCc

6、osB=一I而说I需=一I荏|2=一IBCI答案：一1技法归纳活学活用百G题型突破析典例题型一两向量的夹角【例1】已知Ial=Ibl=2,且。与b的夹角为60。，则+b与的夹角是多少？ab与。的夹角又是多少？解如图所示，作65=,OB=bf且zAO8=60.B以方彳，而为邻边作平行四边形OAC8,则沅=+b,BA=a-b.因为Ial=Ibl=2,所以平行四边形OAC8是菱形，又AO8=60,所以反与面的夹角为30,瓦彳与况的夹角为60.即+力与。的夹角是30,ab与a的夹角是60.通性通法求两个向量夹角的方法（1）求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“

7、一作二证三算”的步骤求出；（2）特别地，。与方的夹角为仇九。与七方Q1,幻是非零常数）的夹角为仇，当的府VO时，=180。；当九义20时，=夕口跟踪训练在AABC中，C=90,BC=AB,则通与前的夹角是（）A.30oB.60oC.120oD.150o解析：C如图，作向量而=近，则n8AD是通与近的夹角，在中，因为NACB=90,8C=8,所以nA8C=60,所以n84Q=120,即而与亘？的夹角是120.题型二直接用数量积公式求数量积【例2】(1)已知向量a与b的夹角为120,且I。I=4,I=2,求：o.岳a-aab2bb；(2)已知正三角形ABC的边长为1,求：而.前；(ABBC;丽而.

8、解(1)由已知得b=IIIbIcos=42cos120=-4.aaab2bb=IaI2-ab-2IbI2=16(4)24=12.Y荏与前的夹角为60。，ABAC=IABIIACIcos60=11=.亚与前的夹角为120。,超前=I万II灰Icos120o=ll(-)=-.丁前与彳?的夹角为60o,：.BCAC=IBCII4CIcos60=11=.通性通法定义法求平面向量的数量积若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式仍=IalIbICOS。运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.M跟踪训练1 .已知平面上三点A,B,C满足

9、I荏I=3,BC=4,CA=5,则ABBC+BCCA+CAAB=()A.-7B.7C.25D.-25解析：D由题得I而I2=I屈I2+I近I2,所以nA5C=9(,所以原式=0+45cos(180-C)53cos(1800-A)=-20cosC-15cosA=-20-15=一169=-25.故选D.2 .设ll=l,IbI=2,Qb=1,则。与b的夹角为.解析：设,b的夹角为仇则COS6=311,d=2Xcos120X?=IbI4故选D.44.两个向量的夹角的取值范围是.当。与b同向时，夹角为.当a与。反向时，夹角为.解析：根据向量夹角的定义可知，两个向量的夹角的取值范围是0,11,当。与同向时，夹角为0,当“与方反向时，夹角为兀答案：0,11011