特色题型专练03 最值问题-相似、三角函数、二次函数（解析版）（江苏专用）.docx

《特色题型专练03 最值问题-相似、三角函数、二次函数（解析版）（江苏专用）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《特色题型专练03 最值问题-相似、三角函数、二次函数（解析版）（江苏专用）.docx（62页珍藏版）》请在优知文库上搜索。

1、中考特色题型专练之最值问题相似、三角函数、二次函数相似题型一、手拉手最值1.如图，在R1.ABC中，ZACB=90,AC=9,8C=12,点E是A8中点，P是直线C石上一动点，连接心,以为斜边在其左侧作Rt力抽，使NAPM=N8,连接C则的最小值为（）【答案】DAMAP【分析】连接加.由题意易证WC即得出NMAP=N。乩G=益从而得出NMAj4A8即又易证MCSd皿得出器=*.再根据勾股定理可求出血15,从而得出霁=3即说明当斯最小时，CM最小.又根据当APJ_CE时，BP最小，结合三角形相似的判定和性质求出此时Bp的值,即如图BP的值，进而即可求出CM的最小值.【详解】如图，连接8P.*AP

2、M=ABC,ZAMP=ZACB=90。，APMABC,MAP=ZCAB,AMAPAC.Zmap-Zcap=Zcab-Zcap,即NKAC=Np4从MACSPAB,CMAC,BPAB：ZACB=90o,AC=9,BC=12,.AB=JAC2+BC?=15,.CM9=9BP15,当BP鼓小时，CM最小.点尸是直线CE上一动点，,当3P_1.C石时，外最小，如图8产即为最小时，此时所作的三角形为RlAPM.点E是AB中点，NAC8=90。,：CE=BE,NPCB=NCBA.又VZBPfC=ZACB=90,一PCBSdCBA,.B,PBCu,B,P12.=,1-=1ACAB915解得：B,P=y,即外

3、的最小值为?，CMCM9,而一近一百，51AQ解得：C例=罢.故选D.【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，较难.证明出当5P_1.CE时，8尸最小，此时CM最小是解题关键.2 .如图，矩形ABCO中，AB=S,AD=4,E为边BC上一个动点,连接AE,取AE的中点G,点G绕点E顺时针旋转90。得到点尸，连接。ROE,EFD面积的最小值是()A.15B.16C.14D.12【答案】A【分析】过点尸作5C的垂线，交5C的延长线于点H,由旋转的性质得/砥4=90。，EF=EG,再证HFHFFF111插EHSgAB,得喘=等=笠=：,设BE=X,则折=9，

4、EHqAB=4,CH=X,然后由梯形面积公d1.AdAtfZ22式和三角形面积公式求出SAEFD=SSe-SEFH=1(-2)2+15,由此即可求解.【详解】解：如图，过点尸作BC的垂线，交8C的延长线于点”，则/”=90。，.四边形ABC。是矩形，.B=NDCB=好,AD=BC=4,AB=CD=Sf：.FHI/CD,/H=/B,二四边形QDM是梯形，由旋转的性质得：NFEA=90。，EF=EG,.ZFEH=90o-ZBEA=NEAB,:ZEHSEAb，.HFHEEFBEABAE,G为AE的中点,.EF=EG=-AEt2-AP1，2,HFHE2BEABAE设BE=x,则WF=,EH=AB=4=

5、BC,：.CH=BE=X,SWFDS梯形WV+SGCDES=-(HF+CD)CH+-CDCE-EHHF2、22=-x+8x+-8(4-x)-4-.2(2)2v722当=2时，面积取得最小值，最小值为15,故选：A.【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式以及三角形面积等知识；熟练掌握旋转的性质和矩形的性质，证明询S皿是解题的关键.3 .如图，在矩形ABeO中，AB=5,BC=S,点M为边BC的中点，P是直线AO上的一个动点，以MP为边在MP右侧作MMPQ,且尸M=P。，连结AM,AQ,则AMQ周长的最小值为_.【答案】22T+4T【分析】因为AMQ的周长为

6、AM+AQ+MQ,其中AM的长可以由直角AABM中利用勾股定理求得，为定值，所以只需要求得A。+MQ的最小值即可，由题意可得，点4,M为定点，。为动点，即“一动两定问题,只需要找到动点。的运动轨迹即可，过A作AM_1.AM使AN=AM,先证ZiMANsAkMPQ,再证aM4PSAMNQ,得到/MAP=NMNQ,延长NQ交直线4。于H,可以得到NNHO=45。，则。点在经过N点，且与直线4。夹角为45。的直线N”上运动，此题就变成了“在直线M/上找点Q,使AQ+QM最小”的将军饮马问题，所以过A作关于M/的对称点K,连接KM交NH于Q,AQ+例。的最小值为MK利用勾股定理可求出KM的值，即可解决

7、.【详解】解：如图1,过A做ANJ_AM,使AN=AM,连接MMNQ,则NAMN=NANM=45,是直角三角形，且PM=PQ,：./PMQ=NAMN=45。，/MAN=ZP=90o,：,4AMNsAPMQ,.AM_MNaPMMQ,V/AMN=NPMQ,ZAMP=/NMQ,：.!MAPsXMNQ,：./MAP=NMNQ,延长MQ交A。于H,设A。与MN交于点。，则NAOM+ZAMN=NOH+NNHO,VZAOM=ZHOH,：.NNHo=NAMN=45,直线N”与直线AD夹角为45,Q在经过N点且与直线AD夹角为45。的直线NH上运动,如图2,过M作MEJ。于E,过N作NK1.4。于尸，BMC图2

8、则NAEM=NNFA=90。,：.NNAF+ZMAE=ZMAE-VNAME=90,NNAF=NAME,AFM4F中，ZEM=4NFA ZAME=/NAF,AM=NA：.AfEF(AAS),：.AE=NF1EM=AFf M是BC的中点，BC=8,/.BM=4t 四边形ABCO是矩形，：,ZABM=ZBAD=ZAEM=9O0, 四边形ABME是矩形，.NF=AE=BM=4tEM=AB=A产=5,在直角ANHF中,NNHF=45。,：,/FNH=NNHF=45,；FH=NF=4,.A=A尸+777=5+4=9,在直角人中，M=A2+B2=/4?如图3,过A作关于直线M/的对称点K,连接KM交直线M/

9、于点Q,此时M/垂直平分4K,则AQ=QK,A。+QM+4M=QK+QM+4?=MK+4?为AABC的周长的最小值，连接K并延长交BC于7，则NK/7N=NAN=45。，KH=AH=9,：.NA”K=90。，9JADBC,：NMFK=NAK=90,./MTK=ZTHA=NMEH=90。，四边形EM777为矩形，MT=EH=AH-AE=8-4=5,HT=EM=AB=5,在直角AMTK中，KT=KH+HT=14,MT=5,：.MK=T2+T2=221，：.AMQ的周长最小值为夜T+历，故答案为：22T4T【点睛】本题考查了最短路径问题，如何将4Q+QM的最小值问题转化为将军饮马问题是解决本题的关键

10、,找到动点。的运动轨迹是解决本题的突破口.4.如图，在矩形ABC。中，BC=I,A82,点E是边CD上的一个动点，连接EA并延长至点尸，且M=2AF,以BE,E尸为边作平行四边形80G,连接GZ,则GE的最小值为.【答案】I【分析】此题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，作F1.j_C。交Co的延长线于点1.,FH_1.DA交OA的延长线于点“，证明四边形Z是矩形，再1I3证明得到A=AQ=5,求出尸1.=5,作GP_1.C8交C8的延长线于点尸，EQ_1.GP于35点。，证明&8G尸S一血，得到BP=尸1.=,求出EQ=,由垂线段最短得到GEE

11、Q,即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.【详解】解：作F1._1.C。交8的延长线于点1.,PHJ,DA交DA的延长线于点”， 四边形43CD是矩形，BC=I,AD=BC=I,ZADC=90。，：,NH=ZHD1.=Z1.=ZADC=90。, 四边形0”也是矩形， HF/DE，：aAHFSAADE, ：AE2AF,.AHAF*ADAE2,：.AH=-AD=-,2213F1.=DH=AD+AH=+-=-f22作GPj_C8交CB的延长线于点尸，EQ工GP于点Q,则Np=ZABC=N1.=90。，GP/AB/CD,ABGP=ZABG,ZFE1.=ZBAE,四边形BEbG是平行四边形,：.GBEF

12、,GB=EF,：.ZABG=BAE,：./BGP=NFE1.,：.工BGSFE1.,BPGB,京=而=13BP=F1.=-,235EQ=CP=BC+BP=+=t,：GENEQ,：.GE-f2GE的最小值为,故答案为：题型二、面积最值1.如图.已知，BC中，8C=8,直线/BC分别交边ARAC于点。、Et尸是BC上任意一点,若,ABC的面积为24,则1）所面积的最大值为（）A.12B.63D.6【答案】D【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，三角形面枳，过点A作AHJ.BC于H,交DE于G,先根据三角形面积公式求出A”=6,设AG=X,lGH=AH-AG=6-x,证明AA

13、DEABCf推出OE=gx,则S,尸二1OEG=(x-3)?+6,由10,可得当=3时，SdDEF最大，最大值为6.【详解】解：如图所示，过点A作A_1.3C于”，交DE于G,：IBC,即。七BC,：,AG上DE,Y48C的面积为24,./BCA/7=24,2：BC=S,J.AH=6,设AG=X,WiGH=AH-AG=6-xVDEC,：DEAC,.DEAG11.1DEX.=,即=,BCAH864DE=-x,3:Sdef=DEGH=?3(6一力=-(x2-6x9)6=-(x-3)2+6,V-0,3，当X=3时，SADEF最大,最大值为6,故选：D.2.如图，在平面直角坐标系直%中，A(2,0),

14、8(0,2),。的圆心为点C(-1.0),半径为1.若。是。上的一个动点，线段。A与y轴交于点E,则二ABE面积的最大值是()【答案】C-2+fd2-t【分析】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：由题意可得当CIJA。相切时，右画面枳最大，然后连接8,由切线的性质，根据勾股定理，可求得AZ)的长，易证得AOEADC,根据相似三角形的对应边成比例，易求得OE的长，继而求得AABE面积的最大值.【详解】解：由图可知：当。C与A。相切时，二ABE面积最大，连接。,则Nsl=90。，.A(2,0),8(0,2),C的圆心为点C(T,0),半径为1,ACD=EAC=2+1=3,.AD=yAC2-CD2=22，ZAO