一元二次方程培优提高例题.docx

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1、考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式：ax2+bx+c=0(a0)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于X的一元二次方程的是()A3(x+1)2=2(x+1)b7+1-2=0JrXCar2+版+c=oDX2+2x=X2+1变式：当k时，关于X的方程履2+2x=Y+3是一元二次方程。例2、方程(忆+2H+3a+1=0是关于X的一元二次方程，则m的值为。针对练习： 1、方程8

2、炉=7的一次项系数是，常数项是。 2、若方程-2)/H=O是关于X的一元一次方程，求m的值；写出关于X的一元一次方程。 3、若方程(加一1)+J=l是关于X的一元二次方程，则m的取值范围是。4、若方程nm+n.22=0是一元二次方程，则下列不可能的是()A.m=n=2B.m=2,n=lC.n=2,m=lD.m=n=l考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2+y-3的值为2,贝14丁2+2丁+1的值为。例2、关于X的一元二次方程(。-2*+1+。2-4=0的一个根为0,则a的值为。说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方

3、程二次项系数的限制.例3、已知关于X的一元二次方程2+c=o(aw)的系数满足a+。=则此方程必有一根为。说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。例4、已知。口是方程-4x+m=0的两个根，AC是方程)3-8y+5m=0的两个根，则m的值为。针对练习: 1、已知方程/+心;-Io=O的一根是2,则k为，另一根是。X+ 2、已知关于X的方程大2+履一2二()的一个解与方程-=3的解相同。x-1求k的值；方程的另一个解。 3、已知m是方程r2-/-I=。的一个根，则代数式根2一m=。 4、已知。是/-3x+l=0的根，则2/-6=。 5、方程一匕卜？+0-

4、C)X+c-=()的一个根为()A-IBlCb-CD-G 6、若2x+5y-3=0,W32=。考点三、解法(D方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法：X2=w(zn),=x=Vw对于(x+)2=w,(ax+m=(H+)？等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：(l)2x2-8=0;(2)25-16x2=0;(3X1-%)2-9=0;例2、解关于X的方程：ax2-b=0例3、若9(x-1)2=16(x+2)2,则X的值为。针对练习：下列方程无解的是()A.x2+3=2x2-1B.(-2)2=0C.2x+3=1-xD.x2+9=0类型二、因式分解法：(X-

5、XlX3一)=O=X=XI，或X=X2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如(0r+m)2=(Z?x+r,(x+aXx+Z?)=(x+a)(x+c),典型例题：例1、2x(/-3)=5(/-3)的根为()552A=-Bx=3Cx1=,2=3Dx=例2、若(4工+4+3(4%+)，)-4=0,则4x+y的值为。变式1：(a2+Z?2)2-(a2+Z72)-6=0,2+b2=o变式2：若/+盯+y=i4,y2+7+X=28,则x+y的值为。例3、方程工2+凶一6=0的解为()A.X1=3,X2=2B.xi=3,X2=2C.x=3,x2=3D.x1=2,x2=2例4、解

6、方程：x2+2(3+l)r+23+4=0例5、已知2,一3孙一2/=0,则土匕的值为。变式：已知2/-3工丁-2)，2=0,且工0,丁0,则、土2.的值为。针对练习：1、下列说法中：方程/+*+4=()的二根为*,X2,ix2+px+q=(X-Xi)(X-X2)X+6x-8=(x2)(X4)./-5出?+6从=3-2)(-3)x2-y2=U+y)(V+77)(V-Jy)方程(3X+1)?-7=0可变形为(3x+1+7)(3x+l-7)=0正确的有0A.1个B.2个C.3个D.4个2、以+7与1-77为根的一元二次方程是()A.X2-2x-6=0B.X2-2x+6=0C.y2+2y-6=0D.y

7、2+2y+6=0 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为倒数：写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为相反数： 4、若实数x、y满足(x+y-3X%+y)+2=0,贝Jx+y的值为()A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或25、方程：/十二=2的解是。尸类型三、配方法2+b+c=0(Wo)=/%+2=一产2aJ44在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例1、试用配方法说明/一2x+3的值恒大于0。例2、已知x、y为实数，求代数式炉+V+2工-4)，+7的最小值。例3、已知/+)J+4x-6y+13=(),x

8、、y为实数,求x,的值。例4、分解因式：412x+3针对练习： 1、试用配方法说明-IOX2+7冗-4的值恒小于0。,111 2、已知尸HX4=0,则XH=.XXX 3、若、=2-J-3+i2x-9,则t的最大值为，最小值为。1、关于X的方程尸+x+4=的两根同为负数，则()A.p0且“Ob.且夕C.P0d,P。且02、如果方程/+2x+n=有两个同号的实数根，则?的取值范围是?？(?)A、?m?0m?0?m0类型四、公式法(1)条件：(tzO,fib2-4ac)(2)公式：X=bl24a1.t(a-4ac0)2a典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：(1)3(1+)2=6.(X+3)(X+

9、6)=-8.Y-4x+1=0(4) 3x2-4x-1=0(5)3(x-1X3x+1)=(x-l2x+5)说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。例2、在实数范围内分解因式：(1)炉22x3；(2)-4r+8x-1.(3)2x24xy5y说明:对于二次三项式ar2+公+。的因式分解，如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式，这种方法首先令a?+。=。，求出两根，再写成0r2+r+c=(xX1)(x-K2).分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、“降次思想”的应用求代数式的值；解二元二次方程组。典型

10、例题：(_)3_2.j例1、已知3x+2=0,求代数式一)二的值。x-1例2、如果/+-i=0,那么代数式d+2-7的值。例3、已知。是一元二次方程/-3x+l=O的一根，求少2-5+的值。a+1说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：能对已知式进行灵活的变形；能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次暴化为低次暴，最后求解。例4、用两种不同的方法解方程组说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式2-4根的判别式的作用：定根的个数；求待定系

11、数的值；应用于其它。典型例题：例1、若关于X的方程/+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。例2、关于X的方程。-l)+2mt+6=O有实数根，则m的取值范围是()A.m。且m1B.nOC./n1D./H1例3、已知关于X的方程/一(4+2卜+2k=0(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰AABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求AABC的周长。例4、已知二次三项式9/-。+6求+m-2是一个完全平方式，试求机的值.说明：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式A=O即：若从一4c=0,则二次三项式”?+法+0(wo)为完全平方式；反之，若a

12、+c(o)为完全平方式，则从-4c=0.例5、团为何值时，方程组+)=mx+y=3.有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？针对练习：1、当k时，关于X的二次三项式/+人:+9是完全平方式。2、当Z取何值时，多项式3f-4x+2攵是一个完全平方式？这个完全平方式是什么?3、已知方程U一g+2=0有两个不相等的实数根，则m的值是.4、Z为何值时，方程组-2帆+4左=0的根与加均为有理数?考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题:例1、关于X的方程(?+1卜2+2a-3=0有两个实数根，则m为，只有一个根，则m为。例2、不解方程，判断关于*的方程/-2(工-。+%2=-3根的情况。例3、如果关于

13、X的方程/+1.v+2=0及方程/一工一2攵=0均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点六、根与系数的关系前提：对于ar?+bx+c=O而言，当满足400时，才能用韦达定理。bc主要内容；XX2=,xx2=一aa应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2/-8戈+7=0的两根，则这个直角三角形的斜边是OA.3B.3C.6D.6说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握。+、a-b.ab、/+/之间的运算关系.例2、解方程组：说明：一些含有无+y、x2+y孙的二元二次方程组，除可以且代

14、入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.例3、已知关于X的方程攵2丁+(2%-l)x+1=()有两个不相等的实数根XpX2,(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由0例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程(二次项系数为D时，小明因看错常数项，而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例5、已知。工人，a221=O,b22/?-1=O,求+/?=变式：若。2-2。-1=0,b2-2b-=0t则f