15 全等与相似模型-手拉手模型（学生版）.docx

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1、专题15全等与相似模型手拉手模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。1）双等边三角形型条件：如图1,AABC和AQCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE,4。交于点尸。结论：4ACDgZ8CE；BE

2、=AD；ZFM=ZBCM=60,；Cr平分N5Q2）双等腰直角三角形型条件：如图2,AABC和OCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE,AO交于点M结论：BE=ADiNANM=NBCM=90。；CN平分/BFD。3）双等腰三角形型条件：AABC和OCE均为等腰三角形，。为公共点：连接BE,AD交于点F。结论：BE=ADiNACM=NBFM；CF平分/BFD。图3图44）双正方形形型条件：AABCH）和ACEFG都是正方形，C为公共点；连接BG,ED交于点N。结论：4Z8CGg2XZ）CE;BG=DE;NBCM=NQNM=90。；CN平分NBNE。例1.（2022北京东城九年级期末）如图，

3、在等边三角形48C中，点P为AABC内一点，连接AP,BP,CP,将线段AP绕点A顺时针旋转60。得到AP，连接尸尸，BP.（1）用等式表示4尸与Cp的数量关系，并证明；（2）当团8PC=120。时，直接写出ZPzAP的度数为；若M为BC的中点，连接PM,请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明.例2.（2022黑龙江中考真题）-ABC和K都是等边三角形.将AADE绕点、A旋转到图的位置时,连接BD,CE并延长相交于点尸（点尸与点A重合）,有PA+PB=PC（或PA+PC=P3）成立；请证明.（2）将AAQE绕点A旋转到图的位置时，连接80,C石相交于点尸,连接布，猜想线段布、PB、PC之间有

4、怎样的数量关系？并加以证明；（3）将-4汨绕点A旋转到图的位置时，连接B。，CE相交于点P,连接雨，猜想线段布、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.例3.(2022砌北襄阳市九年级阶段练习)如图，已知;408和MON都是等腰直角三角形(也OAOM=CW),2(3Ao8=0MON=90。.如图，连接AM,BN,求证：AoM0.8ON；(2)若将一MON绕点O顺时针旋转，如图，当点N恰好在AB边上时，求证：BN?+AN?=20储;当点A,M,N在同一条直线上时，若08=4,ON=3,请直接写出线段BN的长.例4.(2022重庆忠县九年级期末)已知等腰直角,.ABC与/叱有公共

5、顶点AZBAC=ZDAE=90o,AB=AC=4,AD=AE=6.(1)如图，当点氏AE在同一直线上时，点尸为DE的中点,求防的长；(2)如图，将AADE绕点A旋转a(OQV或=）；（2）发现结论：若将图1中的Ag绕点A顺时针旋转。（0oa,分别交AC,CE于点F,P,连接AP,得到图3,探究MPE与0ABC之间有何数量关系，并说明理由；若将SADE绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接8D,CE,延长8。交CE的延长线于点P,BP交AC于点八则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出IMPE与0A8C之间的数量关系.例2.（2022山东济南八年级期末）某校数学活

6、动小组探究了如下数学问题：问题发现：如图1,二ABC中，NWC=90。，AB=AC.点P是底边BC上一点，连接AP,以AP为腰作等腰RtZXAPQ,且NPAQ=90。，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是；变式探究：如图2,-ABC中，ZBAC=90o,AB=AC.点尸是腰AB上一点，连接CP,以Cp为底边作等腰RIZkCQQ,连接AQ,判断8P和AQ的数量关系，并说明理由；问题解决：如图3,在正方形ABC。中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF,点。是正方形。PE产两条对角线的交点，连接CQ.若正方形。PEb的边长为M，CQ=屈,求正方形48Co的边长.例3.(2022四川达州中考

7、真题)某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CQE,按如图1的方式摆放，ZACB=ZECD=9(r,随后保持不动，将CDE绕点C按逆时针方向旋转。(0oa：中，NACB=NDCE=90。，若BC=mAC,C=CE(m为常数).保持一ABe不动，将ACDE绕点C按逆时针方向旋转。(0o6z90o),连接AE,BD,延长8。交AE于点F,连接Cf,如图6.试探究AF,BF,C尸之间的数量关系，并说明理由.图1图2图3例4.（2021四川乐山中考真题）在等腰一ABC中，AB=AC,点。是8C边上一点（不与点6、C重合）,连结40.（1）如图1,若

8、NC=60,点。关于直线AA的对称点为点E,结AE,DE,则NBOE=;（2）若NC=60,将线段AO绕点A顺时针旋转60。得到线段AE,连结3E.在图2中补全图形；探究CO与跖的数量关系，并证明；ADA）（3）如图3,-=-=kt且NAoE=NC,试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明.BCDE例5.（2022山东烟台中考真题）（1）【问题呈现】如图1,0ABC和0AOE都是等边三角形，连接BQ,CE.求证：BD=CE.【类比探究】如图2,SABC和0AOE都是等腰直角三角形，0ABC=ADE=9Oo.连接8。，CE请直接写出丝的值.【拓展提升】如图3,0A8C和财。E都是直角三角

9、形，0C=0DE=9Oo,且罢=组CEBCDE=1.连接8，CE.求券的值；延长CE交8。于点凡交AB于点G.求Sin团8户C的值.4CE例6.（2023四川成都九年级期中）如图1,己知点G在正方形ABCQ的对角线AC上，G瓦8C,垂足为点E,GFCD,垂足为点尸.（1）证明：四边形CEG尸是正方形；（2）探究与证明：将正方形CEG尸绕点C顺时针方向旋转角（0。VaV45。），如图2所示，试探究线段AG与8E之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEG尸绕点C顺时针方向旋转角（0。0145。），如图3所示，当B,EfF三点在一条直线上时，延长CG交AD于点“，若AG=9,GH=3y2,求BC的长.图1图2图3课后专项训练1. （2022浙江温州模）