06第三章复变函数的积分.docx

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1、第三章复变函数的积分1.复积分的概念一.复积分的定义与计算设。为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线，假如选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向)，那么我们就把C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线.假如A到区作为曲线。的正向，那么B到A就是曲线C的负向,记为。一.定义：设C为Z平面上一条以A为起点，以B为终点的简洁光滑曲线，复变函数/(Z)=,j)+iv(,Iy)在C上有定义.在曲线C上任取A=%。,Z,乙=5将C分为n个小弧段，(zk=Xk+iykfMk=Zk-Zk.=M+iN)在每个小弧段上任取一点Q=媒+，/，作和式S”A=I设；l=maNzJ若当40时，该式的极限存在，且与小

2、弧段的分法及外的取法无关，则称此极限值为复变函数/(Z)=a，j)+iy(,了)在C上从A到6的复积分，记作JJ(ZVZ;若曲线方向改为由3到A,则积分记作c-(z.当C为简洁闭曲线时，则此积分记作/6娅.(规定逆时针方向为C的正向)定理1设/(Z)=MX,J+y)在光滑曲线C上连续，则积分Jj(Z)数存在，且为(z)jz=J(x,y)dx-v(x,y)dy+1v(x9y)dx+u(x9y)dy.(注：上式在形式上可看做函数/&)=+)与微分改=%+U相乘后得到的，这样便于记忆)特殊地，若C的参数方程为：z()=(z)+iX)(z(t)=z(b)=B9则有JjQMz=JN/y)dx一期(/y)

3、dy+iv(x,y)dx+(巧y)dy=ux(t则)dx)7(x(A州卜州+iCv(ty(r)M%(r)+(%),M)My(r)Ja=J：MX,j(0)+MM。j(0),(0+iy)k%=(孙(M例1计算,其中C是如图所示:(1)从点1到点，的直线段G；(2)从点1到点O的直线段。2,再从点O到点的直线段i的直线段。3所连接成的折线段C=。2+。3.rdz例2计算!g三ij,其中为任何整数，c为以ZO为中心，r为半径的圆周.例3计算其中C为从原点到点3+4/的直线C段二.复积分的基本性质(1)c()g(z)kz=Jj(ZVZ(g(zVz.kf(dz=kcf(dz.ct=-c.t;(4)(z=c

4、(z+c(zj其中C=C+JIJCJ(Z)d*Jc(z)s0,令M(r)=三x(z).求证:M(r)是r的单调上升函数.4.解析函数的高阶导数定理9设函数/(Z)在简洁闭曲线C所围成的区域。内解析，在万=。+。上连续，则/(Z)的各阶导函数均在。内解析，且对为。内随意一点N,有)=fcz2r211jc(-z)说明：定理9的作用通常不在于通过积分来求导,而在于通过求导来计算某种类型的积分.例14求下列积分的值：fCOSZ.ezj&臼y，上既可N例15求积分,二出,(为整数IZl=IZ定理10(柯西不等式)设函数/(Z)在圆域此一之。IVR内解析，又(z)M(IZ-NJV),则有不等式鬻()恒成立.在整个复平面解析的函数称为整函数，依据柯西不等式可以得到一个关于整函数的结论.刘维尔定理有界整函数必为常数.例16(代数学基本原理)在Z平面上，次多项式p(z)=a0zn+1z,i1+”至少有一个零点.