相似三角形经典例题解析1.docx

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1、一、如何证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F,那么AAGDsS。例2、ZABC中，AB=AC,ZA=36o,BD是角平分线，求证：ABCBCD例3：,如图，D为AABC内一点连结ED、AD,以BC为边在AABC外作NCBE=NABD,ZBCE=ZBAD求证：ZDBEsABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB,E、F,是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC,问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、ZkABC中，在AC上截取AD,在CB延长线上截取BE,使AD=BE,求证：DFAC

2、=BCFE例6：如图，在aABC中，NBAC=90,M是BC的中点，DM_1.BC于点E,交BA的延长线于点D。Ap2MF求证：(1)MA2=MDME；(2)/=些AD2MD例7：如图AABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E,交AB于F,求证：AE：ED=2AF:FB三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。FB1例8：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且=。求证：ZAEF=ZFBDABAD3例9、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CPDP各为四角的平分线，求证：SQAB,RP./BC例10、A、C、E和B、F、D分别是No的两边上的点，且ABED

3、,BCFE,求证：AFCD例11、直角三角形ABC中，ZACB=90o,BCDE是正方形，AE交BC于EFGAC交AB于G,求证：FC=FG例12、RtABC锐角C的平分线交AB于E,交斜边上的高AD于O,过O引BC的平行线交AB于F,求证：AE=BF例1分析,关键在找“角相等”，除条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角NG外,由BC/AD可得Nl=N2,所以aAGDEGCo再Nl=N2(对顶角)，由ABDG可得N4=NG,所以AEGCsEAB.例2分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然NC是公共角，而另一组相等的角那么可以

4、通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。证明：VZA=36o,ABC是等腰三角形，ZABC=ZC=72o又BD平分/ABC,那么NDBC=360在aABC和aBCD中，NC为公共角，ZA=ZDBC=36oABCBCD例3分析：由条件NABD=NCBE,NDBC公用。所以NDBE=NABC,要证的ADBE和aABC,有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从条件中可看到aCBEsaABD,这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。RrRF证明：在ACBE和AABD中，NCBE=NABD,ZBCE=ZBADCBEABD=即：ABBD

5、BCABBEBDBCABDBE和AABC中,NCBE=NABd,ZDBC公用/.ZCBE+ZDBC=ZABD+ZDBCZDBE=ZABCK一二一BEBDDBEsZABC例4分析：此题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种根本图形：(1)如图：称为“平行线型”的相似三角形(2)如图：其中N1=N2,那么AADEsaBC称为“相交线型”的相似三角形。(3)如图：Nl=N2,ZB=ZD,那么AADEsaaBC,称为“旋转型”的相似三角形。观察此题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及AEAF与aECA解：设AB=a,那么BE=EF=FC=

6、3a,由勾股定理可求得AE=缶，在AEAF与AECA中，NAEF为公共角，且丝二型=0所以EFAEEAFECAFE=BC:AC,再利用相似三角形或平行线例5分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF：性质进行证明：证明：过D点作DKAB,交BC于K,VDK/7AB,DF：FE=BK:BEXVAD=BE,DF:FE=BK:AD,而BK：AD=BC:AC即DF：FE=BC：AC,DFAC=BCFE例6证明：(1)VZBAC=90o,M是BC的中点,MA=MC,Zl=ZC,VDMBC,ZC=ZD=9Oo-ZB,Zl=ZD,：Z2=Z2,MAEMDA,：MAMDMEMAMA2=MDME,AP(2

7、)VMAEMDA,=ADMAAEME.AE2MAMEMEMDADMAAD2MD9MAMD评注：命题1如图，如果N1=N2,那么AABDsACB,AB=ADAC(,命题2如图，如果AB2=ADAC,那么4ABDsZACB,Nl=N2。例7分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE：ED”的特征，作DGBA交CF于G,得AEFsj)EG,=O与结论空=土巴二。二相比拟，显然问题转化为证OG=1.F3。DEDGEDFBIR口2BF2证明：过D点作DG心交FC于G那么4AEFsZdeG.(平行于三角形一边的直线截

8、其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似)空=(1)DEDGTD为BC的中点，且DGBF.G为FC的中点那么DG为aCBF的中位线，DG=1.BF(2)将(2)代入2(1)得：AE.A二一2A-DE1.BFFB2例8分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，此题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明此题的关键是构造相似三角形，证明：作FGj_BD,垂足为G。设AB=AD=3k那么BE=AF=k,AE=DF=2k,BD=3ZVZADB=450,

9、NFGD=90：,NDFG=45：.DG=FG=叵k：.BG=3品k-y2k=2y2k：.2AFFGAEG2XZA=ZFGB=90oAEFGBF：,ZAEF=ZFBD例9分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。要证明SQAB,只需证明AR：AS=BR:DS?证明：在aADS和AARB中。1AAARBRASDSZDAR=ZRAb=-ZDAB,NDCP=NPCB=一ZABCADSABR=ARBR但4ADS丝ACBQ,DS=BQ,那么方=丽，；SQAB,同理可证，RPBC例1

10、0分析：要证明AFCD,条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实要证明AFCD,只要证明再稍加处理即可成功。04证明：VAB/7ED,BCFEOElOAOFI=,OCODOBOEbc即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式OF.诉TIn加一r殂OAOF两式相乘可得：=OBOCOD例H分析：要证明FC=FG,从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。要证明FC=FG,首先要找出与FC、FG相关的比例线段，图中与FC、FG相关的比例式较多，那么应选择与FC、FG都有联系的比作为过渡，最终必须得到fC=f9（“？

11、”99代表相同的线段或相等的线段），便可完成。GFAF证明：VFGACBE,ABEAGF那么有二而FC/7DEBEAEAEDAFCCFAFGFCFAFDFGF那么有匕=A=竺又BE=DE（正方形的边长相等）上二=二，即GF=CFoDEAEBEDEAEBEBEAEAC例12证明：PO平分NC,Z2=Z3,RtCAERtCDO,/.=ODCDBFABACABAEBF又OFBC,/.=又氐ABDsRtaCAD,：.二,即二AAE=BF0ODADCDADODOD一、选择题1. （2009年滨州）如下图，给出以下条件：,ABZB=ZACD：ZAz）C=ZAC8：一=；AC2=AD.AB.CDBC其中单独

12、能够判定4A8Csaco的个数为（）A.1B.2C.3D.4【关键词】三角形相似的判定.【答案】C2. （2009年上海市）如图，AB/CD/EF,那么以下结论正确的选项是（）ADBCBCDFCDBCCDADA.-B-C.-D.-DFCECEADEFBEEFAF【关键词】平行线分线段成比例【答案】A3. (2009成都)ZABCsZDEF,且ab：DE=I:2,那么aABC的面积与aDEF的面积之比为（八）l:2(B)I:4(02：1(D)4：1【关键词】【答案】B4. (2009年安J顺)如图，等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线，那么下面四个结论：(1) DE=1.(2)CDECA

13、B,(3)ZCDE的面积与aCAB的面积之比为1：4.其中正确的有：A.0个B.1个C.2个D.3个【关键词】等边三角形，三角形中位线，相似三角形【答案】D5. (2009重庆黎江)假设4ABCsDEF,ZABC与ADEF的相似比为1:2,那么AABC与aDEF的周长比为()A.1：4B.1：2C.2：1D.1：2【关键词】【答案】B6. (2009年杭州市)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及,那么X的值()A.只有1个B.可以有2个C.有2个以上但有限D.有无数个【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】B7. 2009年宁波市)如图，菱

14、形A8C。中，对角线AC、8。相交于点O,M、N分别是边A8、Ao的中点，连接OM、ON、MN,那么以下表达正确的选项是()A.ZXAOM和AAON都是等边三角形B.四边形M80N和四边形MOoN都是菱形C.四边形AMoN与四边形ABCQ是位似图形D.四边形MBCo和四边形NQCo都是等腰梯形【关键词】位似【答案】C8. (2009年江苏省)如图，在5x5方格纸中，将图中的三角形甲平移到图中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的选项是()A.先向下平移3格，再向右平移1格B.先向下平移2格，再向右平移1格C.先向下平移2格，再向右平移2格D.先向下平移3格，再向右平移2格【关键词】平移【答案】D9. (2009年义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。这本书的长为20cm,那么它的宽约为A.12.36cmB.13.6cmC.32.36cmD.7.64cm【关键词】黄金比【答案】A10. (2009年娄底)小明在一次