桥梁软件应用结构分析的有限元法.ppt

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1、第二章第二章 结构分析的有限元法结构分析的有限元法 2.1 2.1 有限元法发展简况有限元法发展简况 利用定义在三角形区域上的分片连续函数和最小位能原理St.Venant扭转问题的近似解有限元法的研究现代有限元法飞机结构分析1943Courant应用数学家、物理学家、工程师1960Tumer、Clough第一次成功尝试第一次用三角形单元平面应力问题解答提出了有限单元法的名称各种非线性问题多物理场耦合问题多尺度问题商品化有限元软件20世纪70年代国外几何非线性：因几何变形引起结构刚度改变材料非线性：弹性（超弹和多线性弹性）、粘弹性、非弹性状态非线性：接触问题2.1 有限元法发展简况 固体力学流体

2、力学传热学电磁学学科应用力学计算结构优化计算功能计算技术纯粹数值技术前、后处理技术的高度智能化和与CAD的集成化2.2 2.2 有限元法的基本思路及其求解步骤有限元法的基本思路及其求解步骤 经典的解析法 从连续体的微分方程入手，寻求满足微分方程和定解条件的适合全域的解析解，一旦得到解析解，就可知道域内任意点的解大多数问题，特别是实际问题 很难甚至无法用解析法得到问题的解析解在整个求解域上满足控制方程在边界上满足边界条件的场函数寻找很困难很困难有限元法有限元法单元节点有限元模型2.2 有限元法的基本思路及其求解步骤 有限元法基本思路抛弃寻找一个满足整个求解域的场函数的思路把求解域划分成有限个四边

3、形单元对每一个单元通过插值的方法，用其节点上的位移建立该单元的位移函数123每个单元都有与其对应的位移函数表达式用全部单元域之和代替整个求解域，用全部单元的位移函数之和代替满足整个求解域的位移函数4对单元进行力学特性分析，建立单元节点力与单元节点位移的关系，并将结构的外载荷等效移植到节点上，再在节点上建立力的平衡方程，求解后得到节点上的位移，继而得到各个单元的应力5以以节点位移节点位移为未知量，通过为未知量，通过求解求解力的平衡方程力的平衡方程获得节点获得节点位移，然后按位移，然后按单元单元计算应力计算应力2.2 有限元法的基本思路及其求解步骤 有限元法求解步骤1 离散化离散化将结构（求解域）

4、划分为有限个单元，让全部单元的集合与原结构近似等价划分单元时，二者在几何形体上越逼近越好，特别是在位移和应力急剧变化的地方2 选择单元位移函数选择单元位移函数在有限元法中，需要用单元节点位移通过插值方法建立单元位移函数（单元位移模式），即用单元节点位移来描述单元位移。单元位移函数的合理与否，直接关系到有限元分析的计算精度、效率和收敛性。通常取为多项式形式2.2 有限元法的基本思路及其求解步骤 3 单元特性分析单元特性分析（1）依照应变与位移之间的几何关系，根据所选择的单元位移函数，建立单元应变与单元节点位移之间的关系式。据此式，在求出节点位移后，可以求得单元应变。（2）依照物理关系（胡克定律）

5、，建立单元应力与单元节点位移之间的关系式。据此式，在求出节点位移后，可以求得单元应力。（3）根据虚位移原理或最小势能原理，建立单元刚度方程，即单元节点力与单元节点位移之间的关系式。此步骤核心是计算单元刚度矩阵。4 外载荷处理外载荷处理将外载荷（体力、面力等）等效移植到节点上。2.2 有限元法的基本思路及其求解步骤 5 建立节点上的力平衡方程建立节点上的力平衡方程按照有限元法的统一格式，形成如下形式的以节点位移为未知量的代数方程组 KF K由各个单元的刚度矩阵组装成的总体刚度矩阵 待求的节点位移列阵 F按节点编号顺序形成的节点载荷列阵6 处理边界条件、解算节点位移处理边界条件、解算节点位移(2.

6、1)按照实际位移边界条件，对式(2.1)进行整理，解之，可得单元节点位移。有了节点位移，即可根据单元特性分析中建立的关系式，求应力、应变、内力等。有了节点位移，即可根据单元特性分析中建立的关系式，求应力、应变、内力等。后处理后处理：对所选应力、应变等，以：对所选应力、应变等，以彩色云图彩色云图或或图表图表的形式显示的形式显示计算结果。计算结果。2.3 2.3 有限元程序的结构简介有限元程序的结构简介 对一个题目或一个实际工程问题进行有限元分析，大体上对一个题目或一个实际工程问题进行有限元分析，大体上分分3个个主要步骤主要步骤有限元建模有限元求解计算结果分析与整理前处理求解器后处理程程序序结结构

7、构2.3 有限元程序的结构简介 前处理几何模型的建立定义约束条件网格剖分确定材料参数和载荷有限元建模形成有限元分析所需用的有限元计算数据形成有限元分析所需用的有限元计算数据可视化可视化 有限元模型有限元模型前处理中，可以用图形显示所建立的几何模型、单元网格、约束条件等求解器2.3 有限元程序的结构简介 有限元程序的核心部分主要完成有限元模型的力学计算，即根据前处理形成的有限元计算数据，完成以下工作：计算单元刚度矩阵计算节点载荷组装总体刚度矩阵将载荷等效简化到节点上形成总体有限元平衡方程求解节点位移计算应力、应变、内力等2.3 有限元程序的结构简介 后处理根据计算者的要求对计算结果进行检查、分析

8、、整理、打印输出等进行数据检索响应量合成绘制变形图、应力图、应变图、曲线图等可视化可视化的方式分析、观察计算结果的方式分析、观察计算结果计算者计算者进行有限元分析的工作量主要体进行有限元分析的工作量主要体现在现在前处理前处理和和后处理后处理方面方面2.4 2.4 算例算例 2.4.1 平面三角形常应变单元任意区域三角形单元网 格剖分示意图mvmujvjuiviuijm典型三角形单元yxo单元内任意点(x,y)的位移uv、坐标x和y的函数建立单元位移函数通过插值方法建立，即用单元的节点位移来表示单元内任意点的位移1.单元位移函数2.4 算例 mvmujvjuiviuijm典型三角形单元yxo单元

9、位移函数选用坐标x和y的一次多项式123456uxyvxy(1)123456、待定系数123123123iiijjjmmmuxyuxyuxy(2)未知量求解(2)(3)得到123456、123456、456456456iiijjjmmmvxyvxyvxy(3)2.4 算例 123123123iiijjjmmmuxyuxyuxy(2)1121iijjmmxyDxyAxy123112111121111121iiijjjiijjmmmmmiijjiijjmmmmiijjiijjmmmmuxyuxyaua ua uDAuxyuyuybub ub uDAuyxuxucuc uc uDAxu4564564

10、56iiijjjmmmvxyvxyvxy(3)1121iijjmmxyDxyAxy456112111121111121iiijjjiijjmmmmmiijjiijjmmmmiijjiijjmmmmvxyvxyava va vDAvxyvyvybvb vb vDAvyxvxvcvc vc vDAxv2.4 算例 ijmmjjmiimmijjiax yx yax yx yax yx yijmjmimijbyybyybyyijmjmimijcxxcxxcxx 123456uxyvxy(1)代入123456、将求得的得到用单元的节点位移表示的单元位移函数iijjmmiijjmmuN uN uN uvN

11、 vN vN v(4)式中是单元形状函数，简称形函数121212iiiijjjjmmmmNab xc yANab xc yANab xc yA（5）,ijmN NN是常数，取决于单元的三个节点坐标,iiima b cc，返回P242.4 算例 11211111.()(1).()1.()()222iijjmmjmmjimmiijjiijmxyDxyAxyADx yx yx yx yx yx yaaa 1.()(1).()1.()()()()()()()0.jmmjimmiijjijmimijijmjjmmiijjjmjmmmiiimimjjmiimjmimjiijmijjix yx yx yx

12、yx yx yxyyxyyx yyb xb xb xb xb xb xb xb xb xb xbxxb xxbbb xb cbcxbcb c 1()2ijjiAbcb c三角形单元的面积A单元位移函数表达式iijjmmiijjmmuN uN uN uvN vN vN v(4)2.4 算例 000000iijeijmijmjmmuvuNNNuuNNNvvuv eeuN写成矩阵形式简写为其中，eu表示单元内任意点处位移的单元位移函数列阵 000000ijmijmNNNNNNN为形函数矩阵返回P282.4 算例 形函数的性质在节点上形函数的值是式（6）表示形函数Ni在其自身节点上的值等于1，在其他节

13、点上的值等于0，即1(,)(,)0ijjijjiN xyi j mji（6）(,)1(,)0(,)0iiiijjimmN x yN xyN xy，(,)0(,)1(,)0jiijjjjmmNx yNxyNxy，(,)0(,)0(,)1miimjjmmmNx yNxyNxy，1单元中任意一点上的各个形函数之和等于1，即22.4 算例 (,)(,)(,)1ijmN x yNx yNx y由121212iiiijjjjmmmmNab xc yANab xc yANab xc yA（5）(,)(,)(,)11122212ijmiiijjjmmmijmijmijmN x yNx yNx yab xc y

14、ab xc yab xc yAAAaaabbbxcccyAijmjmimijbyybyybyyijmjmimijcxxcxxcxx 1()2ijmAaaa120.0.21AxyA2.4 算例 小结小结（1 1）本节的三角形单元，形函数是）本节的三角形单元，形函数是线性线性的，为的，为x x、y y的一的一次函数；次函数；（2 2）在单元内部和各条单元边上，位移也是）在单元内部和各条单元边上，位移也是线性线性的，可的，可由两个节点的位移由两个节点的位移唯一唯一确定；确定；（3 3）相邻单元的公共节点的节点位移是相等的，因此，）相邻单元的公共节点的节点位移是相等的，因此，能保证相邻单元在公共边界上

15、以及单元内部的能保证相邻单元在公共边界上以及单元内部的位移连续位移连续性性。2.4 算例 单元位移函数确定后，根据几何方程xyxyuxvyuvyx求得单元内任意点处的应变，即单元应变 000000ijimixjejimyjxyjjiimmmmuNNNuvxxxxuNNNvvyyyyuvNNNNNNuyxyxyxyxv（7）iijjmmiijjmmuN uN uN uvN vN vN v(4)2.单元应变和单元应力2.4 算例 由121212iiiijjjjmmmmNab xc yANab xc yANab xc yA（5）形函数对坐标变量求偏导111222111222jimijmjimijmN

16、NNbbbxAxAxANNNcccyAyAyA，（8），式（8）代入式（7）中，得到 0001000(9)2iixijmjeeyijmjiijjmmxymmuvbbbucccBvAcbcbcbuv=返回P28由式（9）得到 0001000(10)2ijmijmijmiijjmmbbbBcccBBBAcbcbcb2.4 算例 单元应变矩阵（几何矩阵）000111000222ijmiijjmmiijjmmbbbBcBcBcAAAcbcbcb，（11）分块矩阵参数,;,ijmijmb b bc c c由单元的节点坐标确定，因此，它们取决于单元形状，当单元的节点坐标确定后，它们都是常量，所以，3节点三角形单元的应变矩阵B是常数矩阵2.4 算例 根据物理方程 xeeeeyxyDDBS（12）其中 000200101011002ED为平面应力（平面应变）问题的弹性矩阵平面应力问题00,EE平面应变问题002,11EE 0000000200000002(1)111111222222iijjmmiijjmmiijjmmbcbcbcESDBbcbcbcAcbcbcb（13）应力矩阵S也是常数矩阵单元应力