专题跟踪检测（二十八）利用导数研究不等式问题.docx

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1、专题跟踪检测(二十八)利用导数研究不等式问题1.(2023烟台二模)已知函数y二,(I)求T(X)的单调区间；(2)当心1时，Ar)+A(l+lnx)W0,求实数Z的取值范围.-f+2x解：(1)函数KX)=/的定义域为R,导函数f(X)=令/(x)0,得(Kv2,此时犬力在(0,2)单调递增；令/(x)v,得XVO或x2,此时於)在(一8,0)和(2,+8)单调递减.综上，於)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(一8,0)和(2,oo).(2)法一：当Ql时，1+lnx0,所以收袤仑荷.设8。)=晟方产1),则g(x)-2xnxx2+x2lnx(1)若函数Ar)在1,4上单调递增，求

2、。的取值范围；(2)若。0,求证：/()(x-2Ina).解：(1(x)=lnx+l,因为函数KjO在1,4上单调递增，所以/(x)20在1,4上恒成立.又/(X)=In工一。+1在1,4上单调递增，所以/(x)min=。+1所以一。+1-0,解得Wl.所以。的取值范围是(-8,1.(2)证明：因为a0,x0,所以要证y(x)Wx(-2In4),只需证InXaWx2InA.1令g(%)=x+-2-In。-lnx,则g(X)=IQ=当Oa1时，gf(x)0,函数g(x)单调递增.所以g(x)2g(l)=。-1-InA.aif1a1令人()=-1-ln4(0),则力()=1-=,当OVaVl时，h

3、,(a)l时，h,()0,力()单调递增.所以=l时，()取最小值,则Ma)211)=0.所以当40时，力3)20,因此g(x)e.所以Kt)x(x-2Ind).3.已知函数/(x)=XSinX+cosX,E-,.(1)求火x)的单调区间与最值；(2)若存在沏0,使得不等式yU)20(j+l)成立，求实数4的取值范围.解：(Iyr(x)=sinx+xcos-sinx=xcosx,所以在(一,一。(0,上，/(x)0,於)单调递增，在(甘，0),&兀)上(x)2。，F,(x)0,77(x)单调递增，当X(汨)，),CoSXV2,F,(X)V0,77(x)单调递减，所以Fa)max=尸(XO)=X

4、OSinXocos的一(j+1)=XoSinXO+cos向一s(D.1君=xosnXo十cosxo-ycosxq.1X2令(x)=xsinx+,COSx-cosxtx(O,),1 Y2I,(X)=2Sinxysinx0,所以3(x)3(O)=5.所以F(xo)O成立.综上，4的取值范围为(-8,.4.(2023合肥模拟)已知函数/(x)=Aln.L呼x2x+1有两个极值点XI,小且xV2求TUD的取值范围；若ZrX2,证明：8xa.解：(1)由已知得r(X)=InX一以在(0,+8)上有两个变号零点，即。=乎有两个不等实根.设g。)=乎，g,(X)Jn”,当Ox0,当e时，g()l时，恒有g(

5、x)O成立，于是0/，且Ix1ex2.即有y(x)=xlnXi-ax-+1.又=个:，则危I)=Xllnxx+1=prlnx-x1.令人(x)=%lnxx+1,x(l,e),则/?(X)=；(Inxl)v,即力(X)在(1,e)上单调递减,从而(x)(l0),所以加)(1一*0)(2)证明：由(1)知，方程InXor=。的两个实根Xi,x?,即InXl=i,Inx2=v2.InX2-InxiP劝.亦即InX2InXi=a(X2即)，从而a=.设=-a,又02%X2,即介2.X2XXl要证8x1V,印证31n2+lnx21n及，印证31n2+奴31n2,即组一1,InX2一InxiC.X22x2

6、-xc、M.2r1证(2x2-)31n2,印证ln31n2,即证ln773ln2,即证pin31nX2-X/XlX2XlXlX2_.t1Xl2.2/-12r-lnt-3令0(f)=Lln/(f2),则e(t)=(/_(2)设产=2+lnr-3(02),F,(z)=2TT=0，+IjL%,3则产在(2,+8)上单调递增，有F(f)P(2)=-ln20.2/1于是，0,即有Wa)在(2,+8)上单调递增，因此3p(2)=31n2,即ln31n2,所以8x0,A(x)在(1,+8)单调递增，所以Mx)AZ(I)=O恒成立，即g(x)0,所以g(x)在(1,+8)单调递增.所以当心1时，g(x)g(D=-所以2的取值范围为(一8,一.、土一h7一ISX-A(l+lnx)X-M(l+lnx)法：由心1可得了W;即蓝W尸i.VVVX因为xl,所以Elu0,可得一M2恒成立.eI+lnXgllnxV1设g(x)=3，则g(X)=-.当xl时，g,(x)l在(1,+8)上恒成立.1X1令人(x)=xlnx,h(x)=1所以力(x)在(1,+8)上单调递增，得MX)力(1)XY1+nxe*=1,所以x1+InxL所以g(x)g(1+In),即Ki+m；，所以T11一：LCe1IinXgl+ln.r所以一或21,可得AW-L所以女的取值范围为(一8,二.ec.2.已知函数/(x)=x(lnx),R.