热点7-3双曲线及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

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1、热点73双曲旗及其应用双曲线及其应用是高考数学的重点与难点，在近几年高考数学试卷中，双曲线的相关题型几乎年年都会考到，属于热点问题。题型比较丰富，选择题、填空题、解答题都出现过，主要通过双曲线的定义、方程及性质考查数学运算能力及转化思想，难度中等偏难。-题型5求双曲线的离心率与范围/Y一题型6双曲线的中点弦问题双曲线及其应用7p题型7直线与双曲线相交弦长、一题型8直线与双曲线综合问题【题型1双曲线的定义及概念辨析】ir(1)在双曲线定义中若去掉定义中的“绝对值”，常数。满足约束条件：PF-PF2=2aO),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点生的一支；若IP闾-归制=2”忻闾(0),则动点轨迹仅表示

2、双曲线中靠焦点片的一支;(2)若常数满足约束条件：ITP矶=2=忻用,则动点轨迹是以FkF2为端点的两条射线(包括端点)；(3)若常数满足约束条件：PFl-PF2=2aFlF2,则动点轨迹不存在;(4)若常数a=0,则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。【例1】(2023全国高三专题练习)已知动点M(X,.y)满足而布于-而赤7=4,则动点M的轨迹是()A.射线B.直线C.椭圆D.双曲线的一支【答案】A【解析】设6(-2,0)迅(2,0),由题意知动点M满足IMKHM闻=4=|耳玛Il,故动点M的轨迹是射线.故选：A.22【变式1-1(2023四川绵阳.高三南山中学校考阶段练习)双曲线C：J-

3、=l(a0,b0)的一条渐近线过点4-1，6）,R,6是。的左右焦点，且附1=2,若双曲线上一点M满足IM用=|,则I咋I=（）1-2【答案】B【解析】因为（f。），IWI=2,所以J（+cp+3=2,所以c=2或O（舍），又因为双曲线的渐近线过点唳，司,所以-：罟，所以，=G,c=2所以c-=l,符合要求，所以IgI=IM+24=2=/若M在右支上，M用=0）的上、下焦点分别为K,K,C的m一条渐近线过点（3,9）,点w在C上，且I峙I=5,则IMKI=.【答案】11【解析】由c：/_=T（Wo）得双曲线的标准方程为：21-=1（m0）,mm所以。=后力=1,所以双曲线的渐近线方程为：y=而

4、X,b又C的一条渐近线过点（3,9）,所以3而=9n诟=3,因为点M在C上，6,6为双曲线的上、下焦点，所以IIM国一四用=2=6f由|肛|=5,所以IlM用-5|=6,所以IgI=Il或IgI=T（舍去）.【变式L3】（2023全国高三专题练习）已知圆人:。+2）2+9=9,圆8:0-2y+/=,圆C与圆A、圆B外切，则圆心C的轨迹方程为.【答案】=l,x（h+）【解析】设圆C的半径为，圆A:(x+2)2+y2=9的圆心A(-2,0),半径4=3,圆3:(尤-2尸+丁=1的圆心8(2,0),半径4=1,因为圆C与圆A、圆B外切，则|04|=r+3,|侬=r+1,所以|6|一|。用=2).【变

5、式1-4】(2023河北石家庄一中校联考模拟预测)(多选)已知复数7=IT,z=x+y(x,ywR),则下列结论正确的是()A.方程|二-%|=2表示的二在复平面内对应点的轨迹是圆B.方程z-z+z-耳=2表示的Z在复平面内对应点的轨迹是椭圆C.方程IZ-ZoITZ-刁=1表示的二在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支D.方程二+&+Zo)=IZ-表示的Z在复平面内对应点的轨迹是抛物线【答案】AC【解析】由复数模的几何意义知z-z0=2表示复平面内点,，)与点之间的距离为定值2,则Z在复平面内对应点的轨迹是圆，故A正确；由复数模的几何意义知，IZ-ZOMZ-刁=2表示复平面内点(x,y)到点(1

6、,T)和(1)的距离之和为2,又2=,一刁，不满足椭圆的定义2田用，故B不正确；由复数模的几何意义知JZ-ZolTZ-同=1表示复平面内点(,y)到点(1,7)和(LI)的距离之差为|又2=,一刁，满足双曲线的定义24.i：C.【变式2-2】(2023四川南充校考模拟预测)已知P是离心率为2的双曲线G丁-乙=1(阳0)的右支上m一点，则P到直线125y=0的距离与到点A(-2,0)的距离之和的最小值为()A岸【答案】ACTD.竺1313【解析】已知双曲线C：X2-=l(w0),可知e=Jl+？=2,则?=3,in所以A(-2,0),8(2,0)分别为C的左、右焦点，则网-网=2=2,即IF=I

7、M+2,设尸到直线12x5），=。的距离为d,3到直线12x-5y=0的距离为4,且4=冒，则d+尸Al=4+P8+24+2=V+2=费.故选：A.【变式2-3（2022.天津南开.高三统考阶段练习）已知双曲线=1,点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d,则d+1P/I的最小值为（）A.2+43B.63C.8D.10【答案】A【解析】由双曲线C：（-?=1、可得。=2#,力=2,F（4,0）.设双曲线左焦点为UI，。），不妨设一条渐近线为/：=-%=-WX,BPx+3y=0,a3作正工/,垂足为E,即IPEI=d,作FHU垂足为则IFm二号r2,因为点P为C

8、左支上的动点，O所以IPFITaI=2,可得IPH=%+IPkI,/故d+印=I尸|+加+IWI=勿+1用+1尸F,由图可知，当弋尸，石三点共线时，即E和点重合时，2+%+尸口取得最小值，最小值为2x2A+l尸”1=45万+2,即4+1。臼的最小值为4J+2,故选：A.22【变式2-4】（2023山东泰安统考二模）已知双曲线。:-2=1（。060）,其一条渐近线方程为ab-x+3=0,右顶点为A,左，右焦点分别为耳，尸2,点P在其右支上，点8（3,1）,三角形KAB的面积为1+/，则当附HPBI取得最大值时点p的坐标为（）a32j2b3+tj+tc3+j+（6+5质10+78D-22-，-22

9、）【答案】B【解析】设尺（一。，0），八（a。），则由三角形ZAB的面积为1+*可得*+c）i=+J,即+c=2+J,又双曲线一条渐近线方程为x+6.y=0,故2=g,即=,a3/O故/=/+从=4,c=2故&+=2+。，解得6=1,故=J,c=2,双曲线Cq-/=1.又由双曲线的定义可得IP用-归臼=2+P周一P82J+忸周,当且仅当P，8,F2共线且3在P,F2中间时取得等号.此时直线明的方程为y=J-2),即y=x-2,X2IFT联立石-=可彳导2-12x+15=0,解彳导x=3及y=x-2满分技巧1、由双曲线标准方程求参数范围(1 )对于方程二+ f = 1 ,当加? 0, 0时表示焦

10、点在y轴上的双曲线.2(2 )对于方程上-上=1 ,当加2O时表示双曲线； m n当m0jt0时表示焦点在工轴上的双曲线；当相.(A0);(2 )若已知双曲线的一条渐近线方程为y = H或产-% ,则可设双曲线方程为 -W =，及0)；(3 )与双曲线5冬二I共焦点的双曲线方程可设为 (4 )过两个已知点的双曲线的标准方程可设为5 - = 1(? 0)或者。+ ?= 1(? 0)有共同焦点的双曲线方程可设为-y =(h2/) a a?由题意可得5在中间可得代入y=-2可得y=+*,故,3+2=- b1 k0）与双曲线-y2 = l有相同渐近线， m n4所以,设该双曲线的焦距为2c , m 2又因为焦距2c = 2M ,所以C = M ,所以=K）,联立n _ 1,藐:5,解得?2 =8,=2 ,则双曲线方程为：一=1 ；+ = 108 2（2 ）若焦点在N轴上，设所求双曲线方程为J-J = 15z0）, m n因为工-W = 1（见 0）与双曲线1-9 = 1有相同渐近线， m n4所以，设该双曲线的焦距为2c ,n 2又因为焦距2c = 2M ,所以C