多选题中的立体几何综合问题（解析版）.docx

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1、多选题中的立体几何综合问题一、原题呈现【原题】正三棱柱ABC-A/C中，AB=AA1=I,点/满足族=/13。+84，其中；l,l,O,1,则（）A.当a=1时，AAB/的周长为定值B.当=1时，三棱锥2一AC的体积为定值C.当4=g时，有且仅有一个点尸，使得AP-LBPD.当二g时，有且仅有一个点P,使得AB_L平面AMP【答案】BD【解析】解法一：对于A,当/1=1时，BP=BC+BB=BC+CCx.所以C户=CC,因为,l,所以点P是线段CG上的动点，所以与尸周长不是定值，故A错误；对于B,当M=I时，BP=入BC+BB=BB+ABC、，所以BF=九B1C；,因为4,l,所以点P为线段M

2、G上的动点，而BBC,BC平面AlBC,点到平面ABe的距离为定值，所以，三棱锥P-ABC的体积为定值，故B正确.A11当;l=5时，BP=KBC+，取BC中点M,用G中等N,则M8+5P=MN,即MP=MN,所以点P.点是线段MN上的动点，易得当点Pq点M或点N重合时都有1PLBP,故C错误：对于D,当4=；时，BP=ABC+；BB,取BB,CG中点为E,F.则BP=5E+%EF,即EP=4EF，所以点尸是线段EF上的动点.若ABJ.平面A8P,则ABJ.87,取BC中点D,可得AD_L8/，,所以B/_L平面A8。，所以4PLBD,所以点P与点F重合，D正确，故选BA解法一易知，点P在矩形

3、BCC由内部（含边界）.对于A,当4=1时，BP=BC+nBB=BC+ACC；，即此时尸线段CG,AAgP周长不是定值，故A错误；对于B,当=1时，BP=入BC+BB=BB+ABG，故此时P点轨迹为线段与6,而4G8C，B1C1/平面ABC，则有P到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故B止确.对于C,当；I=；时，BP=-BC+BBl,取BC,4G中点分别为。，HiBP=BQiQH,所22以P点轨迹为线段Q”，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A芋，1，尸（0,0，），8（0，；，0），（R（1、则AP=-，0,-1,BP=-,A1PBP=人T=3所以=0或=1.故4,Q均2）满足

4、，故C错误;对于D,当=!时，BP=ABC+-BB.,取Bq,CCl中点、为M,N.BP=BM+AMN，所以P点22轨迹为线段MN.设P 0,加，因为A / / ,0,0 ,所以 AP= ,- AiB =-3111所以W+5）（）-5=O=X）=-5，此时尸与NiE合，故Dl上确.故选BD.【就题论题】多选题中的立体几何试题，常把多个知识点交汇考查，如把几何体长度、角度、面积、体积的计算与线面位置关系结合在一起考查，也可与函数、不等式及空间向量结合在一起考查，此类问题对空间想象能力要求较高，难度也比较大。二、考题揭秘【命题意图】本题考查空间向量的应用、几何体中面积与体积的计算及线面位置关系的判

5、断及应用,考查直观想象及逻辑推理的核心素养.难度：中等偏难【考情分析】立体几何中对线面位置关系的综合考查常作为较难试题出现，求角度问题、截面位置不固定几何体的体积、最值问题，均是热点问题.【得分秘籍】(I)计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将侧面展开化为平面图形,“化曲为直”来解决,因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.求一些不规则几何体的体积时,常用分割法转化成已知体积公式的几何体进行解决.此外求三棱锥的体积或高时常利用等积法进行转化.“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法,在解题时,把儿何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中,

6、巧妙地破解空间几何体的体积等问题.(2)解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题.长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为。力,C,其体对角线为/.当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接球的道理是一样的,故球的半径d/a2+b2+c2A=-=.22(3)球与一般的直棱柱的组合体,常以外接形态居多.以正三棱柱为例,介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱48C-AqG的高为力，底面

7、边长为。和A分别为上下底面的中心.根据几何体的特点,球心必落在高。A的中点。，OO=,Ao=R,AO=*,借助直角三角形AQP的勾股定理，可求(4)正四面体作为一个规则的儿何体,它既存在外接球,也存在内切球,并且两心合一,利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.设正四面体S-ABC的棱长为,内切球半径为小外接球的半径为R,取A8的中点为Q,E为S在底面的射影,连接8,SO,SE为正四面体的高.在截面三角形SDC,作一个与边So和OC相切,圆心在高跖上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知,外接球和内切球的球心同为。.此时,CO=OS=R,OE=r,SE=4,CE=等。，

8、则有R+r=4，我2一产二/靖二三，解得：R=./二*口这个解法是通过利用两心合一的思路,建立含有两个球的半径的等量关系进行求412解.同时我们可以发现,球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系,可为解题带来极大的方便.(5)求两条异面直线所成角的步骤是：先作图,再证明,后计算.作图,往往过其中一条直线上一点作另外一条直线的平行线,或过空间一特殊点分别作两条宜线的平行线,即平移线段法,此法是求异面直线所成角的常用方法,其实质是把异面问题转化为共面问题；证明,即证明作图中所产生的某个角是异面直线所成的角；计算,一般在一个三角形中求解,注意异面直线所成角的范围是(0,5-(6)应用平

9、行中的判定定理时,注意由“低维”到嘀维”：“线线平行“线面平行”=“面面平行”：应用平行中的性质定理时,注意由嘀维”到“低维”：“面面平行”=线面平行“线线平行”.要使用线面平行的性质定理,就需要创造定理使用的条件,作辅助线和辅助平面往往是沟通已知和求证的桥梁,辅助平面有时需要根据确定平面的条件来确定,有时需要在确定的几何体内去找,当条件比较宽松时,可任意确定一个平面,但必须和已知平面相交且过已知直线.应用面面平行的性质定理时,关键是找(或作)辅助线或平面,对此需要强调的是：辅助线、辅助平面要作得有理有据,不能随意添加；辅助面、辅助线具有的性质,一定要以某一性质定理为依据,不能主观臆断.(7)

10、在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.(8)与面面垂直有关的计算问题的类型：求角的大小(或角的某个三角函数值)：如两异面直线所成的角、线面角、二面角等.求线段的长度或点到直线、平面的距离等.求几何体的体积或平面图形的面积.补充知识：正方体中的截面问题用平面去截一个几何体,所截出的面,就叫截面.可以想象,类似于用刀去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕

11、迹就是截面的形状,截面是一个平面图形.在立体几何中,把空间问题转化为平面问题,历来是立体几何的一个基本问题.而已知不共线三点,作几何体的截面,既是转化为平面问题的一个方法,也是深化理解空间点线面关系的一个很好的途径.下面给出作正方体截面的常见方法.一、平面作图法，1 .方法(交线法).该作图关键在于确定截点,有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线,从而求得截面.2 .作截线与截点的主要根据有：(1)确定平面的条件.(2)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们相交于过此点的一条直线.(3)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.(4)如果一条直线平行

12、于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条宜线就和交线平行(线面平行的性质定理,见第2.2节).(5)如果两个平面平行,第三个平面和它们相交,那么两条交线平行(面面平行性质定理,见第2.2节3 .作图的的主要思想方法有：(1)若已知两点在同一平面内,只要连接这两点,就可以得到截面与多面体的一个面的截线.(2)若面上只有一个已知点,应设法在同一平面上再找出第二确定的点.(3)若两个已知点分别在相邻的面上,应找出这两个平面的交线与截面的交点.(4)若两平行平面中一个平面与截面有交线,另一个面上只有一个已知点,则按平行平面与第三平面相交,那么它们的交线互相平行的性质,可得截面与平面的交线

13、.(5)若有一点在面上而不在棱上,则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题；若已知点在体内,则可通过辅助平面使它转化为面上的点,再转化为棱上的点的问题来解决.如已知：P、Q、R三点分别在正方体AG的棱CG，A。，CCl和AB上,试画出过P、Q、R三点的截面.方法一：先过R、P两点作辅助平面.过点R作RiRIIBBi交AIBl于K,则面CRRiCi为所作的辅助平面.(2)在面CRRC内延长RICI,交RP的延长线于M.(3)在面AiBiC1Di内,连接MQ,交ClDl于点S,延长MQ交BIAl的延长线于点T.(4)连接TR,交AAi于点N,延长TR交B1B于点K,再连接KP交BC于点L.(5)连接

14、RL、PS、QN.则多边形QNRLPS为所求.方法二：先过Q作QEAAi,联结RE、QR(2)联结AC交RE于O点(3)过O作FOQE,交QR于F点(4)联结PF并延长,交AAi于G(5)联结GQ并延长,交DD1于J(6)联结JP.交CiDi于H,延长线交DC延长线于K(7)联结KR,交BC于I方法三：过Q作辅助平面QGHL平行于ADDiAi(2)联结RCI,交GH于K,联结RR(3)过K作K1CCl交RP于L这点便是RP与辅助平面的交点.(4)联结Ql并延长交平面CDDC于M,过F、E分别作QI的平行线,交BC、AAl于E、F(5)联结PM交ClDl于J联结JREQFP,则多边形JREQFP

15、为所求上面我们给出了作正方体截面的方法,那么,用一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图形呢？因为正方体有六个面,所以它与平面最多有六条交线,即所截到的截面图形最多有六条边.所以截图可能是三角形,四边形,五边形,六边形.【易错警示】(1)与动点有关的三棱锥的体积计算不会利用等积法求解(2)作几何体的截面注意要作出与各面的交线，再顺次连接成一个封闭的平面图形三、以例及类(以下所选试题均来自新高考I卷地区2020年1-6月模拟试卷)多选题1. (2021福建省厦门高三模拟)如图，在四棱柱ABCO-AAG。中，AA，平面ABC。，ABHCD,NDCB=90。,AB=AD=AAl=2DC,。为棱CG上一动点，过直线AQ的平面分别与棱BBLDDI交A.对于任意的点Q,都有APQRB.对于任意的点Q,四边形APQR不可能为平行四边形C.存在点。，使得RP为等腰直角三角形D.存在点。，使得直线8C7/平面A尸QA【答案】ABD【解析】/ABH