第40讲直线、平面平行的判定与性质（讲）（教师版）.docx

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1、第40讲直线,平面平行的判定与性质（讲）思维导图题型1:直线与平面平行的判定与性质考向1:直线与平面平行的判定与证明考向2:直线与平面平行性质定理的应用题型2:面面钙郑判定与性质考向1：面面乎那判定与证明直线、平面平行的判定与性质考向2:面面平行1领定理的应用题型3:用亍关系的综合应用对空间平行关系的转化条件理解不诱致误常见误区；对面面平行判定定理的条件面内两相交直线”认识不清致误对面面平行性质定理理解不深致误知识梳理1.直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行=线面平行）门。，4UQ,0,:.1/

2、a性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行=线线平行”）la,lup,a=b,：.l/b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简记为“线面平行=面面平L_/,a,bB，aCb=P,u1,bua,a行”)/性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行aC=a,C=b,ab题型归纳题型I直线与平面平行的判定与性质【例1-1】(2020春海淀区校级期末)如图，三棱柱ABC-ASG中，D,E,尸分别为棱4?,BC,C1B1中点.(1)

3、求证：AC7/平面片。石;(2)求证：A尸平面与OE.【分析】(1)由已知利用三角形的中位线的性质可证。E/AC,进而利用线面平行的判定定理即可证明AC/平面与。E.(2)由已知可证BgCF是平行四边形，进而证明“BE,利用线面平行的判定证明尸C平面片。E,根据面面平行的判定证明平面Ab平面BiDE,根据面面平行的性质即可可证AF平面BiDE.【解答】证明：(1)在ABC中，D,E分别为棱AB,BC中点.所以OE/AC,因为OEU平面BQE,AC仁平面目DE,所以ACV/平面片OE./(2)在三棱柱ABC-A5G中，BC=B1C1,因为E,产分别为BC,Cq中点，U所以CE=4尸，所以5EC尸

4、是平行四边形，所以FC/BW，因为尸CU平面4ED,BEU平面片即,所以尸C/平面片。,又因为AC平面片。E,ACCF=C,所以平面AC尸/平面SQE,所以A尸平面用OE.【例12】（2019广东模拟）如图，五面体ABa）E,四边形ATOE是矩形，ABC是正三角形，AB=I,AE=2,产是线段BC上一点，直线BC与平面AB。所成角为30o,CE/平面ADP.（1）试确定尸的位置.（2）求三棱锥A-C。尸的体积.【分析】（1）连接A）、BE相交于O,则O为座的中点，由三角形中位线定理可得OF/CE,再由线面平行的判定可得CE平面ADF：（2）由广为BC的中点，得匕Wh=匕=%_八也，由己知求得C

5、到平面ABr）的距离为工，可得尸到平面丽的距离为工.再求出三角形丽的面积，代入.校惟体枳公式求得三棱锥A-CDF的体积.4【解答】解：（1）如图，四边形ABZ）K是矩形，连接A0、应:相交于O,则。为庞:的中点,取BC中点尸，连接Ob,则OF/CE,O尸U平面4D/CEu平面皿LCE/平面AD此时尸为AC中点；产为BC的中点，.3=匕-ML匕-八的直线BC与平面AB。所成角为30。，ABC是正三角形，AB=I,.C到平面AB。的距离为工，F到平面的距离为1.24又四边形ABOE是矩形，且A=2,.S,ww=gxlx2=l.1,1,11喂2=丁叼=谈.三棱锥A-CDF的体积为L.【跟踪训练1-1

6、】(2020春大兴区期末)如图所示，在四棱锥尸-ABC。中，BC/平面O,BC=-AD,2E是尸。的中点.(I)求证：BC/AD；（三）求证：CE/平面B;(III)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N,使MN/平面RW?说明理由.【分析】(I)根据线面平行的性质定理即可证明；(II)取RA的中点/，连接印，BF、利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线而平行的判断定理即可证明；(HI)取AD中点N,连接CN,EN,根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明.【解答】证明：(I)在四棱锥?一AHa)中，BC/平面%力，ACU平面AACr,平面ABa)C平面PAD=AD,.BC/AD

7、(II)取RA的中点尸，连接所，BFfE是尸。的中点，.EFAD,EF=-ADf2又由(I)可得3CAO,BC=-AD,2.BCEF,BC=EF,四边形BCE尸是平行四边形，.CE/BF,CEU平面BW,BFU平面PAB，.CE平面RW(III)取AD中点N,连接C7V,EN,E,N分别为PD,AD的中点，.ENPA,可仁平面8,u平面B,;.EN/平面PAB,又由(11)可得CE平面RW,CEnEN=E,.平面CRV/平面R4B,Af是CE上的动点，ANU平面CEN,：.MN/平面PAB,线段AD存在点N,使得MN/平面B.【跟踪训练1-2】（2019春崂山区校级期中）在正方体ABCAqGA

8、中，点为棱例的中点.问：在棱AA上是否存在点N，使得GN面4MC?若存在，请说明点N的位置；若不存在，请说明理由.【分析】取OA中点P,AR中点N,连结GP,NP,则NP/3C，PCHMB,从而平面WC平面CBiM,由此推导出在棱AA上存在中点N,使得GN/面与MC.【解答】解：在棱A。上存在中点N，使得GN面与MC.理由如下：取OA中点p,AA中点N，连结GP,NP,在正方体A8CQ-A4GA中，点M为棱AAI的中点.NPIBC,PCi/MB1,NPnPG=P,B1CB1=B2,/.平面PNCjl平面CBlM,GNU平面PNG,.CN面4C.【名师指导】1 .证明线面平行有两种常用方法：一是

9、线面平行的判定定理：二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行.2 .在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行.题型2面面平行的判定与性质【例2-1】（2019秋金凤区校级期末）如图为一简单组合体，其底面ABa）为正方形，棱PD与EC均垂直于底面ABcD,PD=ZEC,求证：平面石8CV/平面灯M.Ay2【分析】推导出AO/3C,PD/EC,由此能证明平面E8C平面尸D4【解答】证明：.底面ABCD为正

10、方形，.AD/BC,棱产。与EC均垂直于底面ABC,PD=IEC,:.PDllEC,ADPD=D.BCEC=C,.平面EBC平面RM.【跟踪训练2-1】（2020春南关区校级期末）如图，在正方体AAC。-A4GA中，AB=I.（1）求异面直线AB与BC所成的角；（2）求证：平面48。平面用CD.DCt【分析】（1）通过平移先作出异面直线所成的角，进而求出即可；（2）利用线面、面面平行的判定定理即可证明.解答解：（1）连接AiD.DB.由正方体可得A4/OC，对角面ABC。是一个平行四边形，B1CHAxD.NgD或其补角即为异面直线AB与8（所成的角,ABO是一个等边三角形，.NBAO=60。即

11、为异面直线AB与BC所成的角；（2）证明：由（1）可知：A。/BC,而ADU平面BCR,6Cu平面瓦C.A力平面BCR，同理可得AB”平面8。已，又AOnAB=A，.平面A8。/平面线CR.【名师指导】证明面面平行的常用方法1 .利用面面平行的定义或判定定理.2 .利用垂直于同一条直线的两个平面平行（LL,LLS=Q份.3 .利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行（人少Qa协.题型3平行关系的综合应用（1）求证：ACIIBDx【分析】（1）由面面平行的性质即可得证：【例3-1】（2019秋兴庆区校级月考）如图，已知二/，尸是平面,外的一点，直线%8,PCD分别与

12、。、/相交于4、8和C、D.（2）已知=4,AB=5fPC=3,求正。的长.（2）由平行线的性质即可求解.【解答】解：（1）证明：p,平面PB0=AC,平面PBon尸=8,AC/BD-.（2）由（1）可知,S=l, uij=【跟踪训练3-1】（2019春青云谱区校级月考）如图，平面7,线段AB分别交,于M，N,线段4）分别交口,干C,O,线段M分别交,子F,七，若AM=9,MN=1,NB=I5,SAFWC=78.求AEM）的面积.B【分析】利用面面平行的性质得到两个三角形对应边的比，结合面积公式即可得解.【解答】解：/平面又平面AM）C平面=MC,平面AM）C平面4=NO,:.MC/ND,同理硒/FN,又A=9,MN=ll,NB=15,MCAM9FMBM2614DNENBN5又NFMC=NEND,c-FM.MCsinZFMCn”所以Sjmc_22-7Sa-EN.ND.sinZEND20151002,Smnc=78,Svc=l故EV。的面积为：100.【名师指导】利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置.对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决.