专题1.6含30度角的直角三角形五大题型(北师大版)(解析版).docx
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1、专题1.6含30度角的直角三角形五大题型【北师大版】考卷信息:本套训练卷题量适中,题型针对性较高,覆盖面广,选题有深度,可加强学生对含30度角的直角三角形的五大题型的理解!【题型1求长度】1. (2023春福建宁德九年级校考期中)如图,已知ABC中,Z-ACB=60o,BCABBF2-AF2=(2)2-a2=3(米).tAB=4米,.V5a=4,解得Q=竽,即A尸=竽(米).由(1)可知,A。=DE-AE=BD-AE=工-I=竺(米),22DF=AD-AF5.2(米).23答:DF的长约为5.2米.【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用,还考查了含30。角的直角三角形的性质,灵活运用勾股定理是解
2、得本题的关键.3.(2023春广东佛山九年级统考期末)如图,AABC是等边三角形,AB=5,点尸是乙BAC的平分线上一动点,将线段AZ7绕点A顺时针方向旋转60。得到AE,连接CF、EF.(I)尺规作图:在4尸的上方找点Q,使得DE_L4F且DE=4C;(2)在(1)的条件下,连接C。、DF.求证:AE+CDAC;求证:ACDF是等边三角形;当AOEF是等腰三角形时,求AF的长度?【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析;证明见解析;5或1【分析】(1)由旋转的性质可得4E=力凡FAE=60,则AAE尸是等边三角形,由DElAF可知,。在力F的垂直平分线上,如图1,分别以4、尸为圆心,大于户的
3、长为半径画弧,交点为M,连接EM并延长,以E为圆心,AC长为半径画弧,与EM的交点即为。,则点。即为所求;(2)如图2,连接C。、DF.ADf记DE与4C的交点为N,DF与AC的交点为“,证明C4尸三DEF(SAS),则C/=。F,乙ACF=乙EDF,由题意知上。NH=KANE=I80。一4NAE一乙4EN=60。,ACFLCHF+DFC=180o=Z-EDF+DHM+Z-DNHt则tDFC=匕DNH=60。,CDF是等边三角形,CD=CF,由AF+CFACf可得AE+CDAC;由可证CD尸是等边三角形;由题意知,DEF=30o,AFE=60,当ZiDE尸是等腰三角形时,分DE=DF,DE=E
4、F,DF=EF,三种情况求解:情况一、当DE=DF时,由乙DFE=DFA+AFE60o30o=ZDEF,可知此情况不成立;情况二、当DE=EF时,A尸=EF=DE=AC=AB=3;情况三、当DF=E尸时,乙FDE=乙DEF=30,如图3,记AF与DE交点为P,则4F=2PF,PF=F,EP=TDE=TAC=?由勾股定理得EP=屈委=7/=5PP,则5PF=今解得PFw进而可求4尸的值.【详解】(1)解:如图1,点。即为所求;B(2)证明:如图2,连接CO、DF、40,记OE与AC的交点为N,DF与AC的交点为H,由(1)可知,CAF=30,AEN=DEF=AEF=30,CAF=乙DEF,:AC
5、=DE,乙CAF=乙DEF,AF=EFf.CAF三DEF(SAS),:CF=DF,乙ACF=乙EDF,由题意知4DN”=乙ANE=180-乙NAE-UEN=60,ACF+乙CHF+乙DFC=180=乙EDF乙DHM+LDNH,1.DFC=乙DNH=60,ACDF是等边三角形,:.CD=CF,:AF+CFACf:.AE+CDAC;由可证是等边三角形;解:由题意知,DEF=30o,Z.AFE=60,当4OE尸是等腰三角形时,分。E=DF,DE=EF,DF=EF,三种情况求解:情况一、当DE=D尸时,乙DFE=乙DEF,:乙DFE=乙DFA+AFE6030=CDEF,此情况不成立;情况二、当DE=E
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