《概率论与数理统计》教案第12课二维随机变量的边缘分布与独立性.docx

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1、课题二维随机变量的边缘分布与独立性课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)理解二维随机变量边缘分布的概念(2)理解二维连续型随机变量的概率密度及性质(3)理解二维随机变量的独立性及其应用素质目标：(1)帮助学生树立正确看待随机现象的世界观,掌握统计估计的思想与方法(2)训练学生的抽象思维、逻辑推理和发散思维的能力教学重难点教学重点：二维随机变量边缘分布的概念，二维随机变量的独立性教学难点：二维连续型随机变量的概率密度及性质教学方法讲练结合法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学

2、通过文旌课堂APP或其他学习软件，搜集并了解二维随机变量边缘分布与独立性的相关知识【学生】完成课前任务考勤【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】按照老师要求签到互动导入【教师】提出问即：联合概率密度能否确定单个变量的分布规律？反过来，单个变量的分布规律又能否确定联合概率密度？【学生】思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解二维随机变量的边缘分布与独立性的相关知识一、边缘分布【教师】提出边缘分布的概念定义1设二维随机变量(X丫)具有分布函数F(x)，则随机变量X的分布函数6(X)=P(X领k)=P(Xx,yo)=FU,+)(3-9)称为二维随机变量(X丫)关于X的

3、边缘分布函数.类似地，KU)=P(Y三Jj)=P(X+oo,ry)=产(+OOfy)(3_10)称为二维随机变量(X丫)关于丫的边缘分布函数.几何上，边缘分布函数FX(幻和耳()分别表示(X丫)落在如图35和图3-6中阴影部分的概率.下面分别讨论离散型随机变量和连续型随机变量的边缘分布.1 .离散型随机变量的边缘分布若已知二维离散型随机变量(X,的联合分布律，就相当于知道了(Xr)的全部概率规律，则可确定出两个一维离散型随机变量X和Y的分布律.设(XV)的联合分布律为P(X=Xj,Y=Yj)=Pij(i,j=1,2,)则(XV)关于X和Y的边缘分布函数分别为&(x)=尸(x,+8)=ZWPgX

4、l.X7=14(y)=F(+8,y)=ZtPijy于是，X的分布律为 p(y=H)=/=,2,)P(X = Xj) = Zpj. (/ = 1 2 )Pi =)；Y的分布律为Pj ,记为= Pi如果(X,n的联合分布律用表格表示，通常就将两个边缘分布律填写在该表格的边缘上，如表3-3所示，这就是边缘分布律名称的由来.表3-3Xyl)2XPixIPMP12%PlP21PnPziPi,AiPi2匕P.PjPlPzPj1【教师】通过例题，介绍求联合分布律及边缘分布律的方法例1把两封信随机地投入已经编号的3个邮筒里，设X和丫分别表示投入第1,2个邮筒内的信的数量，求(X丫)的联合分布律及边缘分布律.(

5、解析详见教材)2 .二维连续型随机变量的边缘分布设(X丫)是二维连续型随机变量.一股来说其两个分量X和丫都是一维连续型随机变量若已知(X的联合概率密度f(xy),如何求得X及丫各自的概率密度/X(幻和4()呢？由式(3-9)得到：X的分布函数FX(X)=F(彳，+8),即FX(x)=1:f3,y)dydw于是有fx(X)=Fl(x)=+x(x，y)dyJF(3-11)同理(j)=xU)dJF(3-12)通常，又称力(X)和4)分别为(X丫)关于X和丫的边缘概率密度，统称为(X,y)的两个边缘概率密度.【教师】通过例题，介绍求边缘概率密度的方法例2设二维随机变量(Xn具有概率密度,e(x+y,x

6、0,y0,其他.求(XJ)的两个边缘概率密度A。)和6(y).(解析详见教材)例3设二维随机变量(X*)在区域G=(,y)l融1，/领6上服从均匀分布，求边缘概率密度/()f(y).(解析详见教材)二、二维随机变量的独立性【教师】提出二维随机变量独立性的定义和定理定义2设(X,丫)是二维随机变量，如果对于任意X,)，有P(X三Jx,yy)=P(X麴k)P(Yy),(3-13)则称随机变量X与y是相互独立的.如果记A=X领k,3=y川，那么上式为P(AB)=P（八）P(B);可见，XJ相互独立的定义与两个事件相互独立的定义是一致的.由(X,Y)的联合分布函数、边缘分布函数的定义，可得F(x,y)

7、=F(x)F(y),该式可用来判断X,Y的相互独立性.定理1设(X,丫)是二维离散型随机变量，Pg,p,0依次是(X,丫)，X,y的概率分布，则X,y相互独立的充要条件是：对于(X，y)所有可能的取值(升，为)(i,j=l,2,),都有P(X=Xj,y=)=P(X=菁)P(y=U),即对所有的J,三a=Pj.【教师】通过例题,介绍判定二维随机变量是否独立的方法例4设(X,丫)的联合分布律如表3-7所示.表3-7X012301/271/91/91/2711/92/91/9021/91/90031/27000试求(X,丫)关于X和关于P的边缘分布,并判断X,y是否相互独立？(解析详磁材)定理2设(X,丫)是二维连续型随机变量，f(x,y),人(幻，人(丁)分别是联合密度函数与边缘密度函数，则X,y相互独立的充要条件是：对任意的实数X,y,都有/(x,y)=fx(x)f(y).例5设二维随机变量具有密度函数,Ce2lx+yy,0x+oo,0y2.【学生】聆听、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，讲解解题步骤【学生】对比答案和解题步骤，提高自身解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点边缘分布二维随机变量的独立性【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业(1)完成教材中的习题3-2;(2)登录文旌课堂APP螭6学习平台查看相关知识链接。【学生】完成课后任务教学反思