22解直角三角形模型之实际应用模型（教师版）.docx

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1、专题22解直角三角形模型之实际应用模型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。模型1、背靠背模型【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD,构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）Co是解题的关键.【重要关系】如图1,C。为公共边，ADBD=AB;如图2,CE=DA,C

2、D=EA,CE+BD=AB;如图3,CD=EF,CE=DF,AD+CE+BF=AB例1.（2023年四川省中考数学真题）“科技改变生活，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍.在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45。，看底部C的俯角为60。，无人机A到该建筑物BC的水平距离小为10米,求该建筑物BC的高度.（结果精确到0.1米;参考数据：忘=1.41，1.73）【答案】该建筑物BC的高度约为27.3米【分析】由题意可知，ZBAD=45,NCAD=60。，AD1BC，根据三角形内角和定理和等角对等边的性质，得到网=AD=10米，再利用锐角三角函数，求出CO=l6米，

3、即可得到该建筑物BC的高度.【详解】解：由题意可知，ZBAD=45o,NC40=60,ADlBC,.ZADB=9（r,:.ZABD=f-ZADB-BAD=45=ZBAD,8。=AP=10米，在RtA8中，CO=AOtanNc40=AIMan60。=10J米，.8C=8D+CD=1O+1oG27.3米，答：该建筑物BC的高度约为27.3米.【点睛】本题考查的是解直角三角形一一仰俯角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握直角三角形的特征关键.例2.（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度.圆圆要测量教学

4、楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24立米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点。处，测得教学楼48的顶部B处的俯角为30。，8长为49.6米.已知目高CE为1.6米.求教学楼48的高度.（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4I米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB.【答案】（1）教学楼AB的高度为25.6米（2）无人机刚好离开视线EB的时间为12秒【分析】（1）过点8作BG_LDC于点G根据题意可得：DCA.AC,ABIAC,4C=24G米，47加=30,通过证明四边形GCAB为矩形，得出BG=AC=246米

5、，进而得出Z）G=3G-tan30。=24米，最后根据线段之间的和差关系可得CG=AB=8-心，即可求解；(2)连接用并延长，交DFT点H,先求出EG=CG-CE=24米，进而得出比=8石，则4BEG=/BDG=即,则Z)H=DElan60o=48jj米，即可求解.【详解】(I)解：过点3作BG_LDC于点G,根据题意可得：DC1AC,AB1AC,AC=24?米，56=30，DCVAC,ABAC,BGlDCf团四边形GCAB为矩形，回BG=AC=246米，DhDC,BGDC,也DFBG、0NDBG=/FDB=30。，团DG=BGtan300=24米，回。长为49.6米，团CG=AB=8DG=4

6、9.6-24=25.6（米），答：教学楼A8的高度为25.6米.（2）解：连接砥并延长，交。尸于点H,（3CE=1.6米，CG=25.6米，IaEG=CG-CE：=24米，（3PG=石G=24米，BGLDC,RBD=BE,团ZBEG=NBDG=90o-300=60o,DE=DG+EG=4S,DH=DE-tan60o=483（米）,团无人机以46米/秒的速度飞行，团离开视线EB的时间为：=12（秒），答：无人机刚好离开视线即的时间为12秒.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤.例3.（2023年湖北中考数学真题

7、）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCQ,斜面坡度，=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度时的比.已知斜坡CD长度为20米，NC=I8。，求斜坡AB的长.（结果精确到米）（参考数据：sin18o0.31,cos18o0.95,tan18o0.32）【答案】斜坡AB的长约为10米【分析】过点。作OEjBCr点E,在Rt1）EC中，利用正弦函数求得OE=6.2,在RtAB/中，利用勾股定理即可求解.【详解】解：过点。作OEj_BC于点E,则四边形ADEF是矩形,在RtDEC中，CD=20,ZC=18,DE=CDsinZC=20sin18o200.31=6.2.A

8、F=DE=6.2.S-=-,团在Rt/8/中，B=AF2+BF2=-AF=-6.210（米）.BF433答：斜坡AB的长约为10米.【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.例4.（2023年山东省荷泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度BC,无人机在空中点尸处，测得点尸距地面上A点80米，点A处俯角为60。，楼顶C点处的俯角为30。，已知点4与大楼的距离AB为70米（点A,B,C,P在同一平面内），求大楼的高度8C（结果保留根号）【答案】大楼的高度BC为30Jm【分析】如图，过尸

9、作PH_LAB”，过C作CQ_LP”于Q,而C8_LA8,则四边形CQ8是矩形，可得QH=BC,BH=CQ,求解尸=APsin60。=80J=40J,H=AP.cos60o=40,可得CQ=BH=70-40=30,PQ=CO.tan30o=103，可得BC=Q=403-103=303.【详解】解.：如图，过户作尸于，过。作CQLPH于Q,而C3_LAB,C Ooooodoooo、/?|则四边形是矩形，QH=BC,BH=CQ,由题意可得：AP=SO,NH=60,NpCQ=30,AB=IO,万BPH=AP.sin60o=80y=403,AH=AP.cos60o=40,0C=BH=7O-4O=3O,

10、0P=C.tan30o=Io6，BC=QH=403-10=303,13大楼的高度BC为30JJm.【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键.模型2、母子模型I）l1图1图2【模型解读】若三角形中有己知角,共边BC是解题的关键。【重要等量关系】4J图3图4通过在三角形外作高BC,构造有公共直角的两个三角形求解，其中公H如图1,BC为公共边，AD+DC=AC;如图2,BC为公共边，DCBc=DB；如图3,DF=EC,DE=FC,BF+DE=BC,AE+DF=AC如图4,AF=CE,AC=2I一窗二全DjAyf_CIC*图5图6图7图8如图5,

11、BE+EC=BC；如图6,EC-BC=BE；如1图7,AC=FG,AF=CG,AD+DC=FG,BC+AF=BG；如图8,BC=FG,BF=CG,AC+F=AGfEF+BC=EG；如图9,BC=FG,BF=CG,EF+BC=EG,BD+DF=BF,AC+BD+DF=AGo例1.（2023河北沧州模拟预测）如图1,嘉淇在量角器的圆心。处下挂一铅锤,此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M.铅锤bbN图I图2=FE,BC+AF=BE0iEFBjVC4cG图9制作了一个简易测角仪.将在图1中，过点A画出水平线，并标记观测M的仰角4.若铅垂线在量角器上的读数为53。，求的值；如图2,

12、已知嘉洪眼睛离地1.5米，站在3处观测M的仰角为（1）中的向前走1.25米到达。处，此时观测点M的仰角为45,求树MN的高度.（注：tan3704,Sin37。?,cos37-）455【答案】（1）37树MN的高度为5.25米【分析】（1）根据互余的性质计算即可.（2）过点A作A尸JLMN,垂足为尸，则?N=A=1.5米.设MN=A;米.解直角三角形求解即可.【详解】（I）如图 1； = 90。-53。= 37。；（2）如图，过点A作AP垂足为尸，则W=AB=L5米.设MV=X米.MP4在RtPM中，AP=-（x-1.5）（米），在RjMCP中，。尸=Mp=X-1.5（米），tan37034.

13、AC=AP-CP=-（x-1.5）-（x-1.5）=1.25（米），解得x=5.25.3答：树MN的高度为5.25米.【点睛】本题考查了仰角的解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键.例2.（2023内蒙古统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度8.如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸。处的俯角为。，无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至8处，测得河流右岸力处的俯角为30。，线段AM=245米为无人机距地面的铅直高度，点M,C,。在同一条直线上，其中Iana=2.求河流的宽度CD（结果精确到1米，参考数据：31.7）.【答案】河流的宽度8约为64米【

14、分析】过点B作3E_LM。干点E,分别解RtZAMCRt比花即可.【详解】解：过点8作BE_LMZ）于点E.则四边形Ai%是矩形.A,、B尸QaZ、301I、1、I、I_三。OBE=AM=243.ME=AB=2AF/MDACM=a在Rt力MC中，NAMC=9O03tan=的=2,回*走=2回MC=IMCMC在Rt比陀中，ZBED=90。,ZDBE=90o-30o=60o0tanZDBE=-,0tan6Oo=3,0DE=243=720CD=DE-CE=DE-（C-E）=72-（123-12）=84-12384-121.7=84-2O.464答：河流的宽度8约为64米.【点睹】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题.作垂线构造直角三角形是解题关键.例3.（2023年山东省青岛市中考数学真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排.某校组织学生进行综合实践活动一一测量太阳能路灯电池板的宽度.如图，太阳能电池板宽为AB,点O是AB的中点，OC是灯杆.地面上三点D,E与C在一条直线上，DE=I.5m,EC=5m.该校学生在。处测得电池板边缘点8的仰角为37。，在