17全等与相似模型-对角互补模型（教师版）.docx

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1、专题17全等与相似模型对角互补模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了.本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、旋转中的对角互补模型对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：过顶点做双垂线，构造全等三角形；进行旋转的构造，构造手拉手全等。常见的对角互补模型含90。-90。对角互补模型、120。-6

2、0。对角互补模型、2-(180o-2a)对角互补模型。D“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)条件：如图，已知NAoB=NOCE=90,OC平分N40A结论：QCD=CE,OD+OE=也OC,Sodce=Scoe+Scod=-OC2.结论：(T)CD=CE,OE-OD=也OC,SCCF-SCCn=LOC2.CCziLCtzLz2条件：如图，已知AO8=2NQCE=I20,OC平分NA。比结论：QCD=CE,0D+0E=0C,SCoD+S“e4)“等边三角形对120。模型”(2)条件：如图，已知NAOB=2NOCE=120,OC平分NAo8,NZ)CE的一边与80的延长线交于点D,结

3、论：Co=CEOD-OE=OC,S8D-S-立OC5) “120等腰三角形对60。模型”条件：ZkABC是等腰三角形，且N8AG120。，NBPC=60。结论：PBPC=3;6) “2对1802模型”条件：四边形ABCo中，AP=BP,NA+NB=180。结论：OP平分NAOB注意：AP=8P,NA+NB=180。，OP平分NAo4,以上三个条件可知二推一。7）“蝴蝶型对角互补模型”条件：AP=BP,ZAOB=ZAPB结论：OP平分NAOB的外角。例1.（2023黑龙江黑河八年级期中）/?/48C中，AB=AG点。为8C中点.NMDN=90。,NMDN绕点、。旋转，DM、ON分别与边AB、Ae

4、交于E、尸两点.下列结论：（BE+CF）=叵BC,SAAEFSaabc，24S四边形AEDF=AOERAQE/其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【详解】解:Rt0ABC中，AB=AC,点D为BC中点.用MDN=90,0AD=DC,0EAD=0C=45,0EDA=0MDN-0ADN=9Oo-0ADN=0FDC.三EDABFDC(ASA).0AE=CF.0BE+CF=BE+AE=AB.在RtSABC中，根据勾股定理，得AB=变BC.0(BE+CF)=也BC.El结论正确.22设AB=AC=a,AE=b,则AF=BE=ab.Q/Zoo团SaaefWSaabc团结论正确

5、如图，过点E作日(3AD于点I,过点F作FGMD于点G,过点F作FH团BC于点H,ADEF相交于点0.团四边形GDHF是矩形，0AEI和国AGF是等腰直角三角形，13EO2EI(EF团AD时取等于)=FH=GD,OFGH(EFsAD时取等于)=AG.(21EF=E0+0FGD+AG=AD.团结论错误.00EDA00FDC,团S四边形AEDF=SAADC=gADDC=gAD2AD?ADEF.13结论错误.综上所述，结论正确.故选C.例2.（2022辽宁九年级期末模拟）己知0AOB=9（,在0AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与0A,0B（或它们的反向

6、延长线）相交于点D,E.当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图），易证：OD+OE=OC;当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图，图这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段0D,0E,OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.【答案】图中OD+OE=忘OC成立.证明见解析；图不成立，有数量关系：OE-OD=应OC【分析】当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得团CKD蜘CHE,进而可得出证明；判断出结果，解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出OC与0D、OE的关系；最后转化得到结论.【详解】解：图中OD+OE=0OC成

7、立.证明：过点C分别作0A,OB的垂线，垂足分别为P,QW0CPD00CQE,BDP=EQ,00P=OD+DP,OQ=OE-EQ,又由OP+OQ=0OC,BPODDP+OE-EQ=2OC,0OD+OE=OC.图不成立，有数量关系：0E-0D=j0C过点C分别作CK团0A,CHBOB,自0C为ElAOB的角平分线，且CK团0A,CH团OB,0CK=CH,mCKD=团CHE=90,又国KCD与团HCE都为旋转角，00KCD=aHCE,0CKD00CHE,ISDK=EH,0OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK,由（1）知：0H+0K=20C,0OD,0E,OC满足OE-OD=J

8、OC.【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心.例3.（2022秋四川绵阳九年级校联考阶段练习）己知NAC=90,AC=DCfMN是过点A的直线，过点、D作DB工MN于点、3,连接CB.问题发现：如图（1）,过点C作CE_LC8,与MN交于前E,BD、AB.C8之间的数量关系是什么？并给予证明.（2）拓展探究：当MN绕点A旋转到如图位置时，BD、AB.CB之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明.【答案】（I）BD+AB=辰B;证明见解析8Q-AB=C5;证明见解析【分析】过点C作CELCB,得到“B

9、CD=NACE,判断出OC8,确定上CB为等腰直角三角形即可得出结论；过点C作CE_LCB于点C,判断出&ACE之二。CB,确定一EeB为等腰直角三角形，即可得出结论.【详解】（1）解：如图1,过点C作CELCB交MN于点E,NACE=90。一NACB,NBCD=90。-NACB,.NACE=NBCD,DBlMN,在四边形AC38中，ZBAC+ZACD+ZABD+ZD=36(),.NBAC+/0=180。，/GAE+/BAC=180。，0NCAE=ND,AC=DC,ACELDCB,.AE=DB,CE=CB,ECB=90,.工ECB是等腰直角三角形，.4K=0C5,.BE=AE+AB=DB+AB

10、,团BD+AB=辰B;(2)BD-AB=辰B：理由：如图2,过点C作CE_LC8交MN尸点,NACE=90。+/ACB,NBCD=90。+NACB,NACE=NBCD,:DBLMN,.NCAE=90。-NAFB,ND=90。-NCFD,NAFB=NCFD,CAE=,AC=DC:.JACEADCB,AE=DBCE=CB,EC8=90,.工ECB是等腰直角三角形，.8E=&C8,.BE=AE-AB=DB-AB,BD-AB=-JlCB：【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，构造全等三角形是解题的关键.例4.(2022四川宜宾八年级期末)如图1,AAoB=90

11、，OC平分NAO8,以。为顶点作NOCE=90,交04于点O,。8于点E.(1)求证：CD=CE;(2)图1中，若OC=3,求。+。七的长；(3)如图2,ZAOB=120,OC平分ZAOB,以C为顶点作ZDCE=60,交。4于点),。3于点若。C=3,求四边形OEa)的面积.【分析】（I）过点C作CGI30A于G,CH（30B于H,然后根据题意利用AAS定理进行证明HCDG0回CEH,从而求解；（2）根据全等三角形的性质得到OO+OE=2O”,然后利用勾股定理求OH的值，从而求解；（3）过点C作CG0OA于GzCHEOB于H,然后根据题意利用AAS定理进行证明团CDG0团CEH,从而求得Spq

12、边形。改力=S四边形（WCG=2S&8G，然后利用含30。的直角三角形性质求得0H=,CH=也从而求得三角形面积，使问题22得到解决.【详解】解：（1）如图,过点C作CGElOA于G,CHBOB于H,00CDG+0CDO=18O0ECDG=0CEOZCDG=ZCEO在SICDG0CEHr,CGD=ZCHE00CDG00CEH(AAS)CD=CECG=CH(2)(1)CDGCEH0DG=HE由题易得团OCG与团OC/7是全等的等腰百角三角形，且OG=OH0D+0E=0D+0H+HE=0G+0H=20HSOH=CH=X,在R/0OCH中，由勾股定理，得:OH2+CH2=OC21+2=320=-()30H=EOD+OE=2OH=3222(3)如图,过点C作CG0OA于GzCH0OB于H,团OC平分NAoBECG=CHaZAOB=120%NDCE=60oS2CD0+CE0=180(300CDG+0CDO=18O三3CDG=0CEONCDG=，CEo在团CDG与团CEH中尸EG,OG=OE-EG,0F+0G=0D+0E,即可得出结论.（3）同的方法得到。F=EG,根据等量代换可得OE-OD=OC.