04三角形中的导角模型-高分线模型、双（三）垂直模型（教师版）.docx

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1、专题04三角形中的导角模型高分线模型、双（三）垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1：高分线模型条件：AZ）是高，AE是角平分线例1.（2023秋浙江八年级专题练习）如图，在二ABC中，NA=30。，/8=503Co为/ACB的平分线,CE上AB于点、E,则NECD度数为（）【答案】C【分析】依据直角三角形，即可得到NBCE=40。，再根据NA=30。,8平分/AC8,

2、即可得到NBCz）的度数,再根据NDCE=N38-NBCE进行计算即可.【详解】解：=50o,CElABf.ZBCE=40,X.ZA=30。，Co平分ZACB,，NBCD=gZBCA=（180o-50-30）=50,.NDCE=ZBS-ZBCE=50。-40。=10。,故选：C.【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是1800是解答此题的关键.例2.（2023春河南南阳七年级统考期末）如图，在AABC中，01=02,G为A。的中点，BG的延长线交AC于点石，尸为AB上的一点，。尸与AD垂直，交AO于点”，则下面判断正确的有（）2BDC4。是BE的角平分线；BE是AABO的边AD

3、上的中线；C”是AACO的边A。上的高；4”是ZkAb的角平分线和高A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【详解】解：根据三角形的角平分线的概念，知AG是AABE的角平分线，故此说法错误；根据三角形的中线的概念，知BG是AABO的边AO上的中线，故此说法错误；根据三角形的高的概念，知CH为AACD的边上的高，故此说法正确；根据三角形的角平分线和高的概念，知A”是AACF的角平分线和高线，故此说法正确.故选：B.【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段.透彻理解定义是解

4、题的关键.例3.(2023安徽合肥七年级统考期末)如图，已知A。、AE分别是RtZkABC的高和中线,AB=9cmtAC=12ctm,BC=IScm,试求：(I)A。的长度；(2)AACE和aABE的周长的差.BDEC【答案】(1)A。的长度为与cm；(2)ZXACE和AABE的周长的差是3tw.【分析】(1)利用直角三角形的面积法来求线段AD的长度；(2)由于AE是中线，那么BE=CE,再表示SIACE的周长和mABE的周长，化简可得OACE的周长-0ABE的周长=AC-AB即可.【详解】解：(1)国BAC=90,AD是边BC上的高，Sacb=ABAC=BCAD,AB-AC91236z、m田

5、“心上360AB=9cm,AC=12cm,BC=15cm,SAD=(cm),即AD的长度为一cm；CB1555(2)(3AE为BC边上的中线，0BE=CE,回团ACE的周长-0ABE的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=12-9=3(cm),即0ACE和团ABE的周长的差是3cm.【点睹】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法.例4.（2023广东东莞八年级校考阶段练习）如图，在JWC中，AD,AE分别是二45C的高和角平分线,若/8=30。，NC=50o.（1）求NTME的度数.（2）试写出ZzME与NC-NB关系式，并证明.（3）如图，F为AE的延

6、长线上的一点，于。，这时NAFz）与NC-NB的关系式是否变化，说明理由.【答案】(I)Ioo(2)NDAE=T(NCN8)(3)不变，理由见解析【分析】(1)根据二角形内角和求出/84C,根据角平分线的定义得到N84E=5()o,根据高线的性质得到NAz出=90。，从而求出44)=60。，继而根据角的和差得到结果：(2)根据角平分线的定义得到NBAE=LBAC,根据三角形内角和求出NEAC=90。-=12,ACBE=16,则去的值为（）.AB3 - 5A.3 - 4B.5 - 8D.【分析】根据三角形的高的性质，利用等积法求解即可.11,123【详解】团SABC=-48CO=-ACBE,01

7、2A=16AC,团一故选B.22AB164【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算问题.根据三角形的面枳公式得HlAB8=AC8E是解题关键.例3.（2023春河南周口七年级统考期末）如图，在二ABC中，AB=S,BC=10,CF/4?于点F,ADlBC于点O,Ao与CF交于点E,/8=46。.求/AEC的度数.若AD=6,求Cb的长.【分析】（1）数形结合，利用三角形内角和定理求解即可得到答案；（2）利用等面积法，由S.=31。4。=3乂3.。尸代值求解即可得到答案.【详解】（1）解：CF-LAB,团NCEB=90。，0Z=46o,0ZBCF=44o,ADBCf团ZADC=90。，0ZAEC=

8、ZADC+ZBCF=90o+44o=134o：DgC 6x1015AB 8 T(2)解：QCF，AB,ADJ.BC,SabcBC-AD=ABCF,团A8=8,8C=10,AD=6,0CF【点睹】本题考查三角形综合，数形结合，利用等面积法求解是解决问题的关键.模型3：子母型双垂直模型（射影定理模型）（三垂直模型）4结论：NB=CAD;NC=/84。；AB-AC=ADBCo例L（2023广东广州七年级校考阶段练习）如图，在AACB中，NAC8=90。，CO_LA8于。，求证:【答案】见解析【分析】根据COJ_48可得NAcB=NCD8=90。，再根据N8+NBCD=N88+NACO=90。,即可求

9、证.【详解】证：0CDAB,ZAC8=90。团ZACB=Ne力8=90。又团NB+NCDB+NBCD=180o.0NB+NBCD=90又团ZAa=NBCD+ZACD=90o,0ZB+NBCD=NBCD+ZACD=90o3Z=ZACD【点睛】此题考查了三角形内角和性质的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质.例2.（2023山东泰安七年级校考阶段练习）如图，ADtB尸分别是0A8C的高线与角平分线，BF,Ao交于点E,01=02.求证：0A8C是直角三角形.【答案】见解析【分析】根据Ao是MBC的高线,可得就EZ）+0E8Q=9（,根据角平分线的定义可得财8E=0E5D,观察MEQ与0AE

10、尸的位置，可知是一组对顶角，进而进行等量代换可得财EM8E=9（,至此结合已知不难得到0A尸EHMBE=90。，由此解题.【详解】证明：由题意得：ADSBC,8”平分0A8C,00ED+0EBD=9Oo,ABE=团EBD,ED-ABE=9Qof又00E尸=ElBEO,00AE尸+0A8E=9O,0（MEF=0A三,酿ArE+0ABE=90,00AF=9Oo,即a48C是宜角三角形.【点睛】本题考查了三角形高线、角平分线的定义，对顶角相等，熟记角平分线的定义与宜角三角形的定义是关键.例3.（2022秋北京通州八年级统考期末）如图，在JWe中，NABC=90。，BDlACf垂足为O如果C=6,BC

11、=3,则80的长为（）A.2B.IC.33D.不【答案】D【分析】先根据勾股定理求出A8,再利用三角形面积求出8。即可.【详解】解：团WC=90。，AC=6,BC=3,团根据勾股定理=JAC?BC?=痣=3=3小，回BDJ.AC,SABC=-ABBC=-ACBDiBJ-333=-6BD,解得：8。二”.故选择D.22222【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理,三角形面积等积式是解题关键.例4.（2023春江苏苏州七年级苏州中学校考期中）已知，在以8C中，NAeB=Na）B=/（0m90时，ZCFEZCEF；当用90时，NCFENCEF；理由见解析.【分析】（1）证明NC4E=/RM：,rtlACB=ZCDB=90o,证明NACD=N由三角形的外角的性质可得NCEE=NACD+NC4E,NCEF=B+/BAE,从而可得结论.（2）证明NcFE-NCW=NAb-NB,结合三角形的内角和定理可得Z.CFE-Z.CEF=w-ZCD-(180-w-ZBCD)=2-18