05三角形中的导角模型-双角平分线（三角形）模型（教师版）.docx

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1、专题05三角形中的导角模型.双角平分线（三角形）模型模型1、双角平分线模型D两内角平分线的夹角模型条件：如图1,在0ABC中，SABC和0AC8的平分线BE,CF交于点G；结论：NBGC=90。+；NA.2）两外角平分线的夹角模型条件：如图2,在MBC中，BOtCo是（3ABC的外角平分线；结论：ZO=90o-ZA.3）一个内角一个外角平分线的夹角模型4）凸多边形双内角平分线的夹角模型条件：如图4,BP、CP平分0A8C、BDCB,两条角平分线相交于点P；结论：2NP=NA+NI5）两内角平分线的夹角模型条件：如图5,BP.OP平分MC。、0CDE,两条角平分线相交于点P；结论：2ZP=ZAZ

2、B+ZE-180o6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）条件：如图6,Z4=a,NA5GNA8的平分线相交于点片，的平分线相交于点名，ZP2BCtNECZ）的平分线相交于点鸟以此类推；结论：/匕的度数是7）旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点例1.（2022秋安徽阜阳八年级统考期中）如图，在/8C中，点产是C内一点，且点P到8C三边的距离相等，若NBPC=I24。，则NA=.【分析】由条件可知8尸、CP平分NABC和/AC8,利用三角形内角和可求得2A.【详解】解：点P到JSC三边的距离相等，8尸平分/A8C，CP平分/AC8,/.ZA=I80。一（

3、ZA8C+ZAC8）,=180。-2（NPBC+NPCB）=180o-2（l80-NBPC）=180。-2x（180。124。）=68。故答案为：68.【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键.例2.（2022湖北十堰八年级统考期末）如图，在五边形ABCDE中，NA+N8+NE=4,DP,CP分别平分乙EDC、/BCD,则NP的度数是.【分析】利用多边形内角和公式、三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解.【详解】解：Ia五边形的内角和为(5-2*180。=540。，0ZEDC+ZBCD=540o-a,团OP,CP分别为NEDC、/8CD的平分

4、线，ZPDC=-ZEDCtAPCD=-ABCD,220ZPDC+ZPCD=；(NEDC+/BCD)=(540o-a),0ZP=18Oo-(54Oo-a)=a-9Oo,故答案为：a-90o.【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，牢记边形的内角和为(-2)x180。是解题关键.例3.(2023山东济南校考模拟预测)如图1,在ZVlBC中，MAC的平分线AO与mBCA的平分线CE交于点。.求证：0AOC=9(r+；3A8C；(2)当A3C=90。时，且A0=30D(如图2),判断线段AE,CD,AC之间的数量关系，并加以证明.【分析】(1)BBC+0CA=18Oo-aABC,根据角平分线定义求出EI

5、OAC=L团SAC,OCA=-BBCA,即可22求出(30AC+m0。4的度数，根据三角形内角和定理求出即可；(3)在AC上分别截取AM、CN,使AM=AE,CN=CD,连接OM,ON,证aAEO0S1AMO,ADCCmNCO,推出OfZM=ElMOA,CON=COD,OD=ON,求出(WON=(WOA=45。，根据角平分线性质求出MK=ML据此计算即可求解.【详解】(1)证明：(30ABC+3ACMfiAC=180o,S3BC+0CA=18Oo-l3ABC,团比例。的平分线Ao与BBCA的平分线CE交于点O.WOAC=-WAC,OCA=-BCA,2200OAC+G1OC=-(0C+0C4)=

6、-(180o-ABC)=90o-SlABC,22200A6C=18Oo-(0OAC+0OCA)=180o-(90o-0ABC),即财0。=900+,凶8。；224(2)解：-E+CD=ACf证明：如图2,00AOC=9O0+-0C=135o,团团KoA=45,2在AC上分别截取AM、CN,使AM=AE,CN=CD,连接OM,ON,AE=AM则在0AEO和MMo中，,ZEAO=ZMAO,00AEOT0AMO,AO=AO同理团Z)CO013NC0,EOA=QiMOA,0COV=0COD,OAON,豳EOA=团MOA=同CoN=回COZ)=45,配MoN=IWOA=45,过M作MKM。于K,M0ON

7、于L,SR)M_AMAOAM八八C03AOAM3、4,4,广0-=7777，团=,AO=3OD,团=,=-,0A/V=AM=AEfSAwNMNonMNOD1ONMN334AN+NCMC,-AE+CD=AC.更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址:【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键.例4.（2023秋成都市八年级专题练习）如图，在JIBC中，4=58。，三角形两外角的角平分线交于点E则NAEC=【答案】6【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得睨C+0AC/的度数，再

8、根据角平分线的定义求得（3EAC+13EC4的度数，即可解答.【详解】解：00+0BC+0C4=18Oo,28=58,三AC+0C=18Oo-0B=18Oo-58o=122o,00AC+0DAC=18Oo,0CA+l3CF=18O00D4C+QACF=36Oo-(BAC+0BCA)=360o-122o=238o,E平分团DAC,CE平分SAC/，EAC=DAC,0EC4=ySACF,00EAC+0ECA=y(0DAC+0ACF)=119o,0EAC+0EG4+0AEC=18O00AfC=18Oo-(0EAC+0ECA)=180o-119o=61o,故答案为：6.【点睛】本题考查三角形的内角和定

9、理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键.例5.(2023湖北八年级专题练习)如图，已知在ABC中，NB、/C的外角平分线相交于点G,若ZABC=nf,ZACB=no,求NBGC的度数.【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可.解答过程中要注意代入与之有关的等量关系.【详解】解：(3B、I3C的外角平分线相交于点G,在ABCG中，EBGC=180o-(y0EBC+0BCF)=180-；(0EBC+SBCF)=180J(18O,-0ABC+18Oo-0ACB)=180o-(180o-mo+180o-n);=g(i+)【点睛】本题考查的是三角形内角和定

10、理以及角平分线的知识.此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出.例6.(2023辽宁葫芦岛八年级统考期中)如图，C分别平分0ACE、0A8C,0A=7O。，则MoC=()A.35B.25oC.70oD.60【答案】A【分析】根据角平分线的定义可得回CBO=0A8C,团。CE=T财再根据三角形的一个外角等于与它不相部的两个内角的和可得0DCE=IW+iaC80,aACE=0A+ABC,然后整理求出0D=SA.【详解】解：团C。、BO分别平分SACE、BABC,CBD=ABC,团。CE=TaACE,由三角形的外角性质得，回OCE=团D+团CBr,0ACE=0A+MBC,三D+0CBD=y(

11、0A+0C)00D=ySA,00A=7O,B0D=y7Oo=350.故选：A.【点睹】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，注意整体思想的利用是解答的关键.例7.(2022秋八年级课时练习)如图，BA和CA分别是.C的内角平分线和外角平分线，%是NAtBD的平分线，C4是NAC。的平分线，B4是。的平分线，C是N&C。的平分线以此类推，若NA=,则NA202O=.【分析】根据角平分线的定义可得0C4A8C0ACD=0ACD,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得IMCo=0A+0ABC,SlAfCD=SA/BC+I3A/,整理即可得解NA=3乙4,同理求出财2,财3,可以

12、发现后个角等于前一个角的今，根据此规律即可得解.【详解】0出是MBC的平分线，AQ是0AC的平分线，酗VBC=WsA8C,ACD=BACD,又00ACO=a4+0ABC,0ACD=HL4C+0A,13；(0A+0ABC)=yABC+A/,00A=-0A,00A=.0A=0A=a,同理可得0A2=!团A=ra,2222-CfCl根据规律推导，团/&。2。=&,故答案为晟.【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键.例8.(2023春成都市七年级课时练习)如图在团ABC中，BO,CO分别平分团ABC,El

13、ACB,交于0,CE为外角0ACD的平分线，交BO的延长线于点E,记N84C=N1,BEC=Z2,则以下结论Nl=2/2,(2)/BOC=3X2,(3)ZOC=90+Zl,NBOC=90。+N2,正确的是.(把所有正确的结论的序号写在横线上)【答案】【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到m1=2132,13BoC=90。+Tg1,国BoC=90+团2,再分析判断.【详解】回CE为外角0ACD的平分线，BE平分团ABC,BBDCE=yACD,DBE=yABC,又前DCE是团BCE的夕卜角，002=0DCE-0DBE=(ACD-0ABC)=yl,故正确；0BO,CO分别平分团ABC

14、,0ACB,000BC=JABC,0CB=y3ACB,00BOC=18Oo-(BOBC0OCB)=180o-(0ABC+0ACB)=180-；(18Oo-01)=90o+-l,故、错误：团OC平分0ACB,CE平分0ACD,B0ACO=yACB,团ACE=T团ACD,00OCE=y(0ACB+0ACD)=-180=90配IBOC是国CoE的外角，03BOC=BOCE+02=90+02,故正确；故答案为：.【点睹】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义.例9.(2023秋广东佛山八年级校考期末)(1)如图1所示，在JWC中，/A3C和NACB的平分线将于点O,则有NBoe=90。+(44,请说明理由.(2)如图2所示，在JlBC中，内角的平分线/A8C和外角/A8的平分线交于点O,请直接写出/30C与/84C之间的关系，不必说明理由.（3）如图3所示，AP,BP分别平分NcAO,NCBD,则有./=3（/。+/。），请说明理由.（4）如图4所示，AP,82分别平分NaM,NCBD,请直接写出NTJ与/C,之间的关系，不必说【分析】根据OB是团ABC的角平分线，OC是团ACB的角平分线，利用三角形的内角和等于180。即可得出结果；（2）根据OB是团ABC的角平分线，OC是团ACD的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结