02三角形中的导角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型（教师版）.docx

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1、专题02三角形中的导角模型.飞镖模型、风筝模型、角内翻模型近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就飞镖型、风筝模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型）条件：如图1,凹四边形ABCD；结论：NBcD=NA+N8+NO；AB-DBC+CD.条件：如图2,线段8。平分NABC,线段0。平分NAOC；结论：Z0=i（ZA+ZC）2条件：如图3,线段AO平分ND48,线段CO平分NBC结论：ZO=i（ZD-ZB）02飞镖模型结论的常用证明方法：A例

2、L（2023重庆八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图：如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形.那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角凹进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和.（即如图1,0D=0A+0+0C）理由如下：方法一：如图2,连接ABf则在AABC中，0C+0CA+0CBA=18Oo,即团1+回2+明+04+回0180,又团在中，01+02+l3ADB=18Oo,00AD8=团3+04+回（7,即财DB=团CAo+13C

3、8O+0C.方法二：如图3,连接CD并延长至F,001和03分别是AACDf11BCD的一个外角大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？任务：填空：”方法一主要依据的一个数学定理是;探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；应用：如图4,AE是团CA0的平分线，BF是团CBO的平分线，AE与BF交于G,若0408=150。，IMGB=IlOo,请你直接写出团C的大小.【答案】（1）三角形内角和定理（或三角形的内角和等于180）；（2）见解析：（3）70。【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可求解；（2）根据三角形外角的性质可得团1=02

4、&,03=04+0B,从而得到团1例3=（32+04+04+（38,即可求证；（3）由（2）可得：0ADB=0C4+0CTD+0C,MGB=0CAE+回CB尸+团C,从而得至岫CAE+I3C=11OGC,0C4D+0CBf=15Oo-aC,再由AE是由CA。的平分线，B尸是团C8。的平分线,可得150。也C=2（HOo-0C）,即可求解.【详解】（1）解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于180。）（2）证明：连接CD并延长至F,001和团2分别是0ACO和(38Co的一个外角，001=02+0A,03=04+0,001+03=02+QA+04+0,即0Af8=(M+QB+0AC8；(3)

5、解：由(2)得：0ADfi=l21CAD+CBD+0C,aAGB=0CE+CF+0C,回0A8=150,0AG=110o,00CAD+0CBZ)+0C=15Oo,0C4E+0CF+0C=llOo,00CAMCBF=11O-I3C,0CAD+0CBD=15O-0C,0AE是回Cw的平分线，BF是0C8f的平分线，00CD=20C4E,CBD=2CBF,CADCBD=2(0C4E+0CF),015Oo-0C=2(llOo-0C),解得：0C=7Oo.【点睹】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

6、是解题的关键.例2.（2023广东河源八年级校考期末）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究/AO4与2A、NB、NC的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2,OE平分/4）4,CE平分/AC3,ZA=24o,/3=66。，请直接写出力上的度数.【答案】（1）NO4=NA+6+NC,理由见详解；（2）21【分析】（1）连接CO并延长到点利用三角形的外角的性质求解即可;（2）由（1）可知：0AOa0。=姐+0庆90。,从而得睡N0甩BCo=TX90=45,结合团EoO+团代团8。0+团8,即可求解.【详解】解：（1）4DB=A+5+C,理由如下：连接Co并延长到点E,00ADE=0

7、ACD+0A,0DE=0BCD+0B,00ADE0BDE=0ACD+0A三CD三,*ADB=A+/4+ZACB.(2)由第(1)题可得：ZADB=+ACB,(30ADB-aAC=0A+三=66o+24o=9Oo,团。石平分NA8,CE平分4C8,EEfDO-SBCO=y(0AD-0C)=y90o=45o,00DOE=0BOC,00EDO+aE=0CO+0B,0lU-（3E=0EDO-BCO=45o,S0E=QB-45o=66o-45o=21o.【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形外角的性质，是解题的关键.例3.（2022秋广西八年级期中）如图，NAB

8、D,NACD的角平分线交于点尸，若NA=48。，ZD=IOo,则NP的度数（）A.19oB.20oC.22oD.25【答案】A【分析】法一：延长PC交8力于E,设AC、PB交于F,根据三角形的内角和定理得到0A+SA8F+0AFB=mP+13PC产+团尸尸C=I80推出团P+团PCF=财+财6尸，根据三角形的外角性质得到团P+团PBE=团?瓦），推出团P+团PBE=（3PC7AI3f,根据尸8、PC是角平分线得至岫PC产=OPCO,ABF=PBE,推出2团P=0A-团）,代入即可求出13P.法二：延长OG与AB交于点E.设AC与BP相交则IMOB=I3POC,可得团P+gACO=0A+g0A8

9、O,代入计算即可.【详解】解：法：延长尸C交8。于石，设AC、PB交于F,00AaAF+aAF=0P0PCF+0PFC=18Oo,00AF=0PFC,00P+0PCF=l3A+0AF,00P+0PE=0PED,团PEo=(3PCA团。，00P+0PBE=0PCD-0D,020P+0PCF+0PBE=0A-0D+0AF+0PCD,0PB、PC是角平分线00Pb=(3P8,酎BF=PBE,020P=0A-DIaaA=48,0D=1O00P=19o.法二：延长。C,与AB交于点E.团0AeD是IMCE的外角，0A=48,00ACD=0A0AEC=48o+0AEC.WlEC是团8。E的外角，00AEC

10、=财80+团。=0ABD+10,配IA8=48+0AEC=48+0A8D+lO,整理得IaACZAaA8。=58.设AC与BP相交于O,则0AO8=阴OC,P+ySACD=SA+0ABD,即回尸=48-；（0CD-0ABD）=19.故选A.【点睹】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键.例4.（2023广东八年级期中）如图，在三角形ABC中，ABACBC,为三角形内任意一点，连结AP,并延长交8C于点D求证：（1）AB+ACAD+C;（2）AB+ACAP+BP+CP.【详解】(1)VABA

11、CAZABDZACD，tZADBZABD，ABADVACBC,AB+AOAD+BCBDC(2)过点尸作所5C,交AB、AC于E、尸，则NAM=NABC,ZAFE=ZACB由(1)知AE+AFAP+EFVBE+EPBP,CF+FPCP：.(AE+BE)+(AF+CF)+(EP+FP)AP+BP+CP+EF即AB+ACAP+8P+CP(几何证明中后一问常常要用到前一问的结论)例5.（2023福建三明八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号一一箭号.我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形图1图2图3探究：（I）观察“箭头四角形，试探究NBDC与/A、NB、NC之间的关系，并说明理由；应用：（2

12、）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：如图2,把一块三角尺XyZ放置在ABC上，使三角尺的两条直角边X丫、XZ恰好经过点3、C,若ZA=60o,则NZWX+NACX=；如图。3,NABE、/ACE的2等分线（即角平分线）BF、b相交于点尸，若Nfi4C=6（r,NBEC=I30。，求/BFC的度数;拓展：（3）如图4,BOifCoj分别是480、ZACO的2020等分线（i=l,2,3,2018,2019）,它们的交点从上到下依次为Q、利、。3、2o9已知NBOC=*,BAC=nt则NBaOoOC=度.【答案】（1）BDC=ZA+ZB+ZC,理由见详解；（2）30；95。；（3）6）；：【

13、分析】（1）连接AD并延长至点E,利用三角形外角的性质得出NBDE=NB4。+NaNCOE=NCAO+NC,左右两边相加即可得出结论；（2）直接利用（1）中的结论有N8XC=NA+NABX+ZACY,再把已知的角度代入即可求出答案；先根据NBEC=N84C+NABE+NACE求出ZABE-ZACE,然后结合角平分线的定义再利用ABFC=ZBAC+ZABF+ZACF=BAC+-（ZABE+NACE）即可求解；2（3）先根据NBOC=NmC+Z80+NACo求出N48O+NACO,再求出NABqOOo+NACQK）Oo的度数，最后利用ZBO1000C=ZBAC+ZABOiooo+ZACOiooo求

14、解即可.【详解】（I）如图，连接AD并延长至点E0NBDE=NBAD+ZB,NCDE=ZCAD+NC,又出ZBDC=ZBDE+NCDE,NBAC=NBAD+NCAD,aABDC=ZBAC+/B+NC(2)由(1)可知NBXC=NA+NABX+NACY0ZA=6Oo,ZBXC=9Oo0ZABX+ZACX=ZXC-ZA=9Oo-6Oo=3Oo由(D可知4EC=ZA4C+ZABE+ZACE04C=60o,ZBEC=13Oo0ZABE-VZACE=ABEC-ABAC=130o-60=70BF平分BE，CF平分/4CE,.ABF=-ABE,ACF=-ACE22:.ZBFC=ABAC+ZABF+ZACF=

15、ZBAC+1(ZABE+ZACE)=95(3)由(1)可知ZBoC=NEAC+NABO+ZACO0ZBOC=wo,BAC=no0ZABO+ZACO=BOC-ZBAC=nf-noBBOifCoj分别是ZA80、ZAeO的2020等分线(i=1,2,3,2018,2019)八人八八八mn,50no-50wo团ZABQ000+ZACO1000=赤x1=而0ZBOiwjoC=ZBAC+ZABO+ZACOiwio二郎谭历。【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质和角平分线的定义是解题的关键.模型2、风筝模型(鹰爪模型)1）风筝（鹰爪）模型：结论：ZA+ZO=Z1+Z2;2）风筝（鹰爪）模型（变形）：结论：ZA+ZO=Z2-Zlo例L（2023四川达州八年级期末）如图，Zl,N2,N