求轨迹方程的常用方法(经典).docx

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1、求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1 .待定系数法：如果动点P的运动规律符合我们的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，那么可先设出轨迹方程，再根据条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。2 .直译法：如果动点P的运动规律是否符合我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，那么可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x,y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3 .参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，那么可寻求幽动点P运动的某个几何量t,以此量作为参变数，分别建立P点坐标X,y与该参数t的函数关系x=

2、f（t）,y=g（t）,进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x,y）=Oo4 .代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律，（该点坐标满足某曲线方程），那么可以设出P（x,y）,用（x,y）表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。5 .几何法：假设所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（假设能直接消去两

3、方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。（二）求轨迹方程的考前须知：1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系,因此要学会动中求静，变中求不变。来表示，假设要判断轨迹方程表示何种曲线，那么往往需将参数方程化为普通方程。3 .求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解那么要舍去，出现丢解，那么需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。4 .求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。课

4、前热身：1.P是椭圆二+2L=I上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M,那么PM中点的轨迹中点的轨迹方程为：（）【答案】：B42V2tX242,X2V21X2V2A、-X2+=1B、一+-y2=1C、一+=1D、一+9595920365工24C【解答】：令中点坐标为（x,y）,那么点P的坐标为（x,2y）代入椭圆方程得5+不：/=1,选B2.圆心在抛物线V=2x（y0）上，并且与抛物线的准线及工轴都相切的圆的方程是AX2+y2-x-2y-=0Bx2+y2+x-2y+l=OCX2+y2-x-2y+l=0Dx?+/一%一2），+_L=O【答案】：D4【解答】：令圆心坐标为(烂,)，那么由题意可得

5、，解得。=1,那么圆的方程为222Y+y2_l_2y+L=0,选D43:一动圆与圆0：Y+丁=1外切，而与圆c：2+y2-6+8=0内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线B：圆C：椭圆D：双曲线一支【答案】：D【解答】令动圆半径为R,那么有+那么MO-MC=2,满足双曲线定义。应选D。IMeI=R-I4：点P(xo,yo)在圆2+y2=l上运动，那么点M(2xo，yo)的轨迹是()A.焦点在X轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在X轴上的双曲线【解】：令M的坐标为(Xy),那么I=1=5代入圆的方程中得二+/=1,选人y=y。v-v4yo-y名师点题一：用定义法

6、求曲线轨迹求曲线轨迹方程是解析几何的两个根本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。例1：A8C的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点，且满足sin3+sinA=WsinC,4求点C的轨迹。【解析】由sin3+sinA=2sinC,可知+C=I0,即IACl+1BCI=I(),满足椭圆的定义。442222令椭圆方程为二十二=1,那么=5,c=4=A=3,那么轨迹方程为二+

7、-=1(x5),/b2259图形为椭圆(不含左，右顶点)。【点评】熟悉一些根本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。(1) 圆：到定点的距离等于定长(2) 椭圆：到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)(3) 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离)(4) 到定点与定直线距离相等。【变式1】：1：圆(x+4)=25的圆心为此，圆6-4)2+尸=1的圆心为以一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。解：设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得：PM=R+5,PM2=R+1o.,PM1-5=PM2-LPM1-PM21=4。动圆圆心P的轨迹是以此、此为焦点的双曲线的右支，c=

8、4,a=2,b2=12o2:一动圆与圆0：/+)，=1外切，而与圆C：/+6x+8=0内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线B：圆C：椭圆D：双曲线一支【解答】令动圆半径为R,那么有PMR+1,那么M0-MC=2,满足双曲线定义。应选D。二：用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2：一条线段AB的长等于2,两个端点A和8分别在X轴和)，轴上滑动,求AB中点P的轨迹方程？解设M点的坐标为(x,y)由平几的中线定理：在直角三角形AoB中，lsOxOM=-AB=-2a=a,22M点的轨迹是以。为圆心，。为半径的圆周.【点评】此题中找到了OM=LAB这一等量关系是此题成功的关键所在。一

9、般直译法有以下几种情21)代入题设中的等量关系：假设动点的规律由题设中的等量关系明显给出，那么采用宜接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2)列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3)运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程04)借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式2】：动点P(x,y)到两

10、定点A(-3,0)和8(3,0)的距离的比等于2(即四=2),求IPBl动点P的轨迹方程？解答F=Ja+3)2+/JQBI=J(X_3)2+/代入四1二2得鹿+3)二=2n(x+3)2+y2=4。-3)2+4y2IPBl(-3)2/化简得(-5)2+y2=16,轨迹是以(5,0)为圆心，4为半径的圆.三:用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置适宜的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线L,I2,假设L交X轴于A点，L交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【解析】分析1:从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线h引发的

11、，可设出L的斜率k作为参数，建立动点M坐标(x,y)满足的参数方程。解法1:设M(x,y),设直线L的方程为y4=k(-2),(kO)YM为AB的中点，消去k,得x+2y5=0。另外，当k=0时，AB中点为M(1,2),满足上述轨迹方程；当k不存在时，AB中点为M(1,2),也满足上述轨迹方程。综上所述，M的轨迹方程为x+2y5=0。分析2,解法1中在利用kh=-1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用aPAB为直角三角形的几何特性：解法2：设M(x,y),连结MP,那么A(2x,0),B(0,2y),Vb12,ZXPAB为直角三角形化简，得x+2y-5=0,此

12、即M的轨迹方程。分析3：设M(x,y),由11_112,联想到两直线垂直的充要条件：klk2=-l,即可列出轨迹方程,关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法3,设M(x,y),TM为AB中点，JA(2x,0),B(0,2y)。又Ii,b过点P(2,4),且11112，-4-04-2vPAPB,从而kpkB=-1,而ZPA=，女配=-2-2x2-0注意到L_LX轴时，b_Ly轴,此时A(2,0),B(0,4)中点M(L2),经检验，它也满足方程x+2y5=0综上可知，点M的轨迹方程为x+2y5=0。【点评】1)解法1用了参数法，消参时应

13、注意取值范围。解法2,3为直译法，运用了kpkPB=-l,IMPl=gA8这些等量关系。用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式3】过圆O：2+y2=4外一点A(4,0),作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。解法一：“几何法”设点M的坐标为(x,y),因为点M是弦BC的中点，所以OM_LBC,所以IOMl2MA2=OA2,(2+y2)+(x4)2+y2=16化简得：(x2)2+y2=4由方程与方程2+y2=

14、4得两圆的交点的横坐标为1,所以点M的轨迹方程为(-2)2+y2=4(OWXV1)。所以M的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆在圆O内的局部。解法二：“参数法”设点M的坐标为(x,y),B(x),C(x2,y2)直线AB的方程为y=k(-4),由直线与圆的方程得(l+k2)x2-8k2x+16k2-4=0(*),由点M为BC的中点，所以X=J+/=-l于(1),又OM_LBC,所以k=2(2)由2+kX方程(2)消去k得(X2)2+y2=4,又由方程(*)的()得k2.所以XVI.所以点M的轨迹方程为(X-2)2+y2=4(Oxl)所以M的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆在圆O内的局

15、部。四：用代入法等其它方法求轨迹方程V2v2例4.点B是椭圆0+2=1上的动点，力(2,0)为定点，求线段AB的中点M的Crb-轨迹方程。分析：题中涉及了三个点A、B、M,其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然U的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。【解析】设动点M的坐标为(x,y),而设B点坐标为(xo,yo)那么由M为线段AB中点，可得即点B坐标可表为(2x2a,2y)【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式4】如下图，P(4,0)是圆f+)2=36内的一点，A、3是圆上两动点，且满足NAPB=90,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.【解析】：设48的中点为R,坐标为(Xj),那么在RtZXABP中，AR