第五章 平面向量.docx

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1、平面向量第1节平面向量的概念与线性运算对应学生用书P121考试要求1 .了解平面向量及相关概念.2 .掌握平面向量的加、减运算及几何意义.3 .掌握平面向量的数乘运算,理解向量共线的含义.理清知识结构 基础全通关一,向量的有关概念名称定义备注既有大小又有方向的向量,向的大小叫作向平面向是自由向量的长度（或称模）长度为零的向，其方、口止零向量4011记作向是任意的单位向量舞7个单位长度与非零皿共线的单位向为看相等向长度， 且方向T-的向平行向量方向或（共线向量）的非零向量O与任一向量或共线两向只有相等或不相等,不能比较大小相反向倒长度且方向的向量。的相反向为O定义法则（或几何意义）平行四边形法则

2、二，向量的线性运算运算律交换律:a+b=b+a,结合律：（a坳+c=a*。+。(续表)定义法则(或几何意义)运算律运算求a减法与6的相反向A-b的和的运三m影法踽a-b=a林科求实数HIAal=IMal当人内KKa与向与a的方向相M;数乘量a当,则3a2bB.BCBADCADC.b=+Woa与。的方向相反D.若Ial=Ibl=ICI,则a=b=cB对于A,由于任意两个向不能比较大小,故A错误；对于B,近砺沅和筋与瓦故B正确;对于C,*b=+Woa与6的方向相同,故C错误；对于D,虽然IalTbI=IeI,但32,c的方向不确定,故D错误.4.（2022年新高考全国港）在58C中,点。在边AB,

3、BD2DA.3A=m,CD=n,CB=（）.A.311-27B.-211311C.377*27D.2m+3nBCBMB+3而=A+3（而+CD）=2CA3CD=-2m+3”.故选B.考点一考点题型命题全研透平面向量的概念给出下列命题：若两个向相等,则它们的起点相同,终点相同;若a与力共线力与C共线,则a与C也共线；若48,C。是不共线的四点,且近荻,则四边形/88为平行四边形;a=b的充要条件是a=6且ab,已知儿为实数,若4a=他则a与。共线.其中真命题的序号是.行W错误,两个向量起点相同.终点相同,则两个向量相等,但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点；端误,若D,则a与C不一定共线；正

4、确,因为而灰,所以而/=国/且而Il说,又A8,C。是不共线的四点,所以四边形48C。为平行四边形；。错误,当理。且方向相反时,即使/a/=/也不能得到a=b,所以Ial=Ibl且*6不是a=。的充要条件,而是必要不充分条件;瀚误,当=O时后与力可以为任意向量,满足*a=血但a与6不一定共线.故填.有关平面向量概念的注意点:(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即平行向量,它们均与起点无关(3)向可以平移,平移后的向与原向量是相等向.(4)非零向量a与言的关系:言是与a方向相同的单位向量,若是与a方向相IalIalIal反的单位向量.(5)两个向量不能比较大小,只

5、可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小.(6)两平行向量所在的直线平行或重合感悟实践设为为单位向量.有下列命题若a为平面内的某个向量,则a=afar,若a与a平行,则a沟3);若a与E平行且a=1,则a=a其中假命题的个数是().A.0B.1C.2D.3D向是既有大小又有方向的量,a与/司0的模相同,但方向不一定相同,故是假命题.若a与平行,则a与E的方向有两种情况,一是同向,二是反向.反向时,a=-aa,故是假命题.综上所述,假命鹿的个数是3.故选D.考点二平面向量的线性运算命题角度1平面向量的加、减运算(2023陕西汉中开学考试)如图所示,已知点0到平行四边形Q8CO的三个顶点48,

6、。的向量分别为a,G则而=（用ahc表示）.宴a-b+cOD=044D衣+BC=040C-0fi=a-b+c.化简:（加+OM）*而*FC）+（MA+MB）=.BC因为（询+0M）-t（BO屈）-f（MA+MB）=（AMAM）QM+MB+BO痂）=0+0+而痂,所以（而而?）*而痴）*说54语）痂.三角形法则和平行四边形法则都是求向和的基本方法,两个法则是统一的,当两个向首尾相连时,常选用三角形法则;当两个向量共起点时.常选用平行四边形法则.感悟实践1.化简:通廊TaT）.A.4DB.0C.FCD.DAB而而亚万丽（前枚）45布=0.故选B.2.（2023湖北武汉调研）设为平行四边形48CD对

7、角线的交点,O为平行四边形48。所在平面内的任意一点,则A-OB-fWD=（）.A.0MB.20MC.30MD.40MD如图,在&O4C中为4C的中点,所以M就=2两,在08。中.而而=2两,所以M顺抚而N两.故选D.命题角度2数乘运算与向量共线（2023云南昆明模拟）梯形力8CD中,同=2而设而=m,而=/7,则而#而T）.A.n2?B.n-2nC.-2D.-m2”AAC+BDADWCMDAB=2而-ABAB=AB+2而=掾m+2故选A.1 .解决平面向量线性运算问题的关健在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2 .在求向时要尽可能转化到平行四边形成三角形中,

8、运用平行四边形法则,三角形法则及三角形中位线,相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向转化为用已知向线性表示.感悟实践（改编）设。为48C所在平面内一点,就=2下,为8C的中点,则荏=（）.AW荏*而B.ABADCAB-ADD.ABADA如图,近=2而,E为8C的中点，所以荏45#丽丽*丽而出而丽鸿而号而,故选A.命题角度3根据平面向量的线性运算求解参数(改编)在平行四边形48CD中,对角线/4C与8。交于点。若而而=痴,则实数=().A.iB.2C.D.B在平行四边形48C。中,丽丽=而身而,解得才=2.故选B.(2023威海模拟)在平行四边形HHC。中石户分别为边8CC。的中点,若

9、同=A#麻(X六R),则x-y=.2由题意得荏与下麻京万片而,於当方访?与方*府.因为同=XAE+而,所以荏=(X+9荏Oy)AD,(x+f=1,fx=1U所以XDr解得I3所以X=2g+y=0,y=-=,利用向量线性运算求解参数的思路:(1)利用向量的线性运算得到相关向量的线性表示;(2)对比向量等式求出参数或建立方程(蛆)求解.感悟实践1.(2023湖北武汉横拟)点C在线段项上,且闲/彳而/若荏力%则实数=).A.|B.=ClD,43444TD不妨设而=4a则闲/弓质/=3a因为点C在线段48上,则屈=T前,故选D.（2023河南八市联考）如图,在直角梯形48CD中,比W而,屁=2前,且荏

10、=漏+而,则23s）.A.1B.2C.3D.4C由题图可得而与石廊而*近4*（函而反）鸟同承语痂片正看（而+：近R而*而.因为荏=痴而,所以f=i1s=1则2r3s=12=3.R彳基础过关1 .有下列命题:。两个相等向量,若它们的起点相同,则终点也相同;若a=彻,则a=若P=I方则四边形48C0是平行四边形;渊m=,n=k,则m=K若司力向G则aic向线段就是向,向就是有向线段.其中假命题的个数是（）.A.2B.3C.4D.5C对于两个相等向量,若它们的起点相同,则终点也相同,。是真命题:对于,若Ial=Ib|,但由于ab的方向不确定,所以a,。不一定相等,是假命题;对于多,若|而|=|近由知

11、而,反不一定相等,所以四边形48CD不一定是平行四边形,是假命题;对于若m=nln=k.9Am=4,是真命题;对于若哥|60匕则当b=Q时同IC不一定成立是假命题;对于,有向线段不是向量,向量可以用有向线段表示,是假命题.综上所述,假命题是共4个.故选C.2 .如图,向量力。=（）.A.-4e-2e?B.-2&1-AeiC.e-32D.3eS2CaS=Ci4C8=3&e）=3z.故选C.3.已知而和伤。前=3a卅&而=4外a则（）.A.48,。三点共线BA8,C三点共线C.8C。三点共线D.4G。三点共线A由题意得而痂=a*56=而,又前,而有公共点8所以48。三点共线.如图,在平行四边形力8

12、C。中,为8C的中点尸为OE的中点,若而=Ai诟*而,则XT）.因为尸为OE的中点,所以标心而+荏）,而荏碗痂碗*丽号而，即有肝鸟（而+而+ad）=ab-ad.又而=A而日而,所以舄.故选C.5 .八卦是中国文化中的哲学概念,如图,八卦的平面图形记为正八边形AHCOf尸G”其中。4-1,则下列结论错误的是（）.A.BF-WFHD4)B.00C=-20FC.E*FC-GE4FD.正八边形A8CDEFGH的面积是2企A对于A,因为而而丽而而丽S丽丽5痂,故A错误；对于B,因为C*或=90,则以04。C为邻边的平行四边形为正方形,又因为08平分/49G所以罚抚=V丽故B正确；对于C,因为荏质直和屈而丽而而砺#历班,且而=祝,所领,所以而而无丽丽故C正确;对于D,正八边形A8CDEFGH的面积是8*1E*sin45=2四,故D正确.故选BCD.6 .已知O是直角三角形